مسائل تدريب AP Calculus: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (√(4x² + 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 6x) − 2xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(3x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 15x² + 63x + 4. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ − 15x² + 63x + 4

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 1200 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €20 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €10 للمتر. أوجد أدنى تكلفة كلية C.

A = 1200 m²€20/m€10/m

C = €

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 140 − 0,5q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 1500 + 70q يورو. أوجد الإنتاج الأسبوعي q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 140 − 0,5qC = 1500 + 70q

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 10 min تكون درجة حرارتها 257 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 150 °C؟

T₀ = 340 °CT_a = 20 °CT(10) = 257 °CT = 150 °C

t = min

10.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 20y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.25) =

11.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ (3/2)ᵏC: Σ (k + 1)/k²D: Σ (−1)ᵏ/√k

1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
2B: Σ (3/2)ᵏ
3C: Σ (k + 1)/k²
4D: Σ (−1)ᵏ/√k

12.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

جد المعامل c₄ لـ (x − 1)⁴ في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = e^2x حول a = 1.

f(x) = e^2xa = 1k = 4

c₄ =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 1,5

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اضرب في المرافق

f(x) = 6x/(√(4x² + 6x) + 2x)

اقسم على x

f(x) = 6/(√(4 + 6/x) + 2)

اجعل x → ∞

L = 6/(2 + 2) = 1,5

الإجابة

L = 1,5

2.النهايات

الإجابة: L = 4,5

التطبيق الأول

3·sin 3x/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

9·cos 3x/2

عوّض x = 0

L = 9/2 = 4,5

الإجابة

L = 4,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 1,104

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

عوّض

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

الإجابة

f′(0,5) = 1,104

4.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 7

أيهما أي

f″(x) = 6x − 30: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 3

الإجابة

x = 3

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: C = 1697 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 30x + 24000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 48000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(24000/30) = 28,28 m

y = 1200/28,28 = 42,43 m

أدنى تكلفة

C = 30·28,28 + 24000/28,28 = €1697

الإجابة

C = €1697

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 70 وحدة

دالة الربح

P(q) = (140 − 0,5q)·q − (1500 + 70q) = −0,5q² + 70q − 1500

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −1 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 70/1 = 70

السعر والربح

p = 140 − 0,5·70 = €105

P = 70·70 − 0,5·70² − 1500 = €950

الإجابة

q = 70

7.التكاملات

الإجابة: I = 23,5

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

الإجابة

I = 23,5

8.التكاملات

الإجابة: I = 3,602

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

الإجابة

I = 3,602

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 30 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(320/237)/10 = 0,03003 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(320/130)/0,03003 = 30 min

الإجابة

t = 30 min

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.25) = 1,749

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المركّبة

r = −2 ± 4j

الثوابت

A = 3, B = 2·3/4 = 1,5

احسب

y(0,25) = e^−0,5(3·cos 1 + 1,5·sin 1) = 1,749

الإجابة

y(0,25) = 1,749

11.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ (−1)ᵏ/√k

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → تؤول الحدود إلى e لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.

B: Σ (3/2)ᵏ → هندسية مع r = 3/2 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.

C: Σ (k + 1)/k² → تسلك سلوك 1/k لـ k كبيرة: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.

D: Σ (−1)ᵏ/√k → متناوبة، و1/√k يتناقص إلى 0: تتقارب (تقاربًا مشروطًا).

الجواب

D: Σ (−1)ᵏ/√k

الإجابة

D: Σ (−1)ᵏ/√k

12.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: c₄ = 4,926

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المشتقة f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = 2⁴·e^2x

المعامل

c₄ = 2⁴·e²/4! = 4,926

c₄ = 4,926

الإجابة

c₄ = 4,926

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice