مسائل تدريب AP Calculus: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (√(x² + 10x) − x).

f(x) = √(x² + 10x) − xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 5). أوجد f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 5)x = −2

f′(−2) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 2x² + 4x − 2 عند x = −2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 2x² + 4x − 2x = −2

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 300 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €15 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €5 للمتر. أوجد أدنى تكلفة كلية C.

A = 300 m²€15/m€5/m

C = €

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

يبيع مسرح 1360 تذكرة في كل عرض بسعر €25 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 40 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 40 تذكرة أكثر). أوجد أقصى إيراد R لكل عرض.

1360 × €2540 / €1

R = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 4 − x² والمحور x.

y = 4 − x²

A =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 239 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 111 °C؟

T₀ = 400 °CT_a = 25 °CT(14) = 239 °CT = 111 °C

t = min

10.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ (k + 1)/k²C: Σ 10ᵏ/k!D: Σ 1/k²

1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ (k + 1)/k²
3C: Σ 10ᵏ/k!
4D: Σ 1/k²

12.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 عند x = 0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₄|.

f(x) = cos xn = 4x = 0,5M = 1

|R₄| =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 5

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اضرب في المرافق

f(x) = 10x/(√(x² + 10x) + x)

اقسم على x

f(x) = 10/(√(1 + 10/x) + 1)

اجعل x → ∞

L = 10/(1 + 1) = 5

الإجابة

L = 5

2.النهايات

الإجابة: L = 0,5

التطبيق الأول

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

1·e^x/2

عوّض x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

الإجابة

L = 0,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(−2) = −0,6154

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

عوّض

f′(−2) = −8/13 = −0,6154

الإجابة

f′(−2) = −0,6154

4.المشتقات

الإجابة: b = −10

النقطة والميل

f(−2) = −2

f′(x) = 4x + 4 → f′(−2) = −4

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−2) = −10

الإجابة

b = −10

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: C = 489,9 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 20x + 3000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 6000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(3000/20) = 12,25 m

y = 300/12,25 = 24,49 m

أدنى تكلفة

C = 20·12,25 + 3000/12,25 = €489,9

الإجابة

C = €489,9

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: R = 34810 €

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 2360 − 40p

R(p) = 2360p − 40p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −80 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 2360/80 = €29,5

أقصى إيراد

n = 2360 − 40·29,5 = 1180

R = 29,5·1180 = €34810

الإجابة

R = €34810

7.التكاملات

الإجابة: I = 0,3424

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

الدالة الأصلية

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

النهايات

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

الإجابة

I = 0,3424

8.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

4 − x² = 0 → x = ±2

كامل

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

الإجابة

A = 10,67

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 36,75 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(375/214)/14 = 0,04007 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(375/86)/0,04007 = 36,75 min

الإجابة

t = 36,75 min

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 5,216

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 5, r = −2 ± 2j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −5

الذروة

t = π/2 = 1,571

y_max = 5·(1 + e^−2·π/2) = 5,216

الإجابة

y_max = 5,216

11.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: B: Σ (k + 1)/k²

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (−1)ᵏ/√k → متناوبة، و1/√k يتناقص إلى 0: تتقارب (تقاربًا مشروطًا).

B: Σ (k + 1)/k² → تسلك سلوك 1/k لـ k كبيرة: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.

C: Σ 10ᵏ/k! → اختبار النسبة: L = lim 10/(k + 1) = 0 < 1، تتقارب.

D: Σ 1/k² → متسلسلة p مع p = 2 > 1: تتقارب.

الجواب

B: Σ (k + 1)/k²

الإجابة

B: Σ (k + 1)/k²

12.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₄| = 0,0002604

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₄| ≤ 1·0,5⁵/5! = 0,0002604

الإجابة

|R₄| = 0,0002604

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 2,16 × 10⁻⁵.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice