مسائل تدريب AP Calculus: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (−x² − 2x + 5)/(5x² + 4x + 7).

f(x) = (−x² − 2x + 5)/(5x² + 4x + 7)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·e^0,5x. أوجد f′(1,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 3

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 300 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €40 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €12 للمتر. أوجد طول x جانب الشارع الذي يجعل التكلفة أقل ما يمكن.

A = 300 m²€40/m€12/m

x = m

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 60 − 2q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 100 + 25q يورو. أوجد السعر p الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 60 − 2qC = 100 + 25q

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

10.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + y′ + 9,25y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.25) =

11.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

تتقارب متسلسلة القوى Σ_k=1^∞ (x + 1)ᵏ/(k²·3ᵏ) على مجال حول x₀ = −1. جد الطرف الأيسر x لذلك المجال.

Σ (x + 1)ᵏ/(k²·3ᵏ)x₀ = −1

x =

12.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = sin x عند x = 1,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,0005.

f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 0,0005

n =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −0,2

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−1 + (−2)/x + 5/x²)/(5 + 4/x + 7/x²)

اجعل x → ∞

L = −1/5 = −0,2

الإجابة

L = −0,2

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 1,125

التطبيق الأول

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

2,25·e^1,5x/2

عوّض x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

الإجابة

L = 1,125

3.المشتقات

الإجابة: f′(1.5) = 3,705

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

عوّض

f′(1,5) = 2,117·(1 + 0,75) = 3,705

الإجابة

f′(1,5) = 3,705

4.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

حُلّ f′(x) = 0

x = −1 أو x = 3

أيهما أي

f″(x) = 6x − 6: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

الإجابة

x = 3

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: x = 11,77 m

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 52x + 7200/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 14400/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(7200/52) = 11,77 m

y = 300/11,77 = 25,5 m

أدنى تكلفة

C = 52·11,77 + 7200/11,77 = €1224

الإجابة

x = 11,77 m

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 42,5 €

دالة الربح

P(q) = (60 − 2q)·q − (100 + 25q) = −2q² + 35q − 100

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −4 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 35/4 = 8,75

السعر والربح

p = 60 − 2·8,75 = €42,5

P = 35·8,75 − 2·8,75² − 100 = €53,13

الإجابة

p = €42,5

7.التكاملات

الإجابة: I = 2,079

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = 3·ln x

عوّض الحدود

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

الإجابة

I = 2,079

8.التكاملات

الإجابة: A = 42,67

نقاط التقاطع

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

الإجابة

A = 42,67

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 1,218

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 4)² = 0 → r = −4

الثوابت

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 12 = 12

احسب

y(0,5) = (3 + 12·0,5)·e⁻² = 1,218

الإجابة

y(0,5) = 1,218

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.25) = 2,238

الجذور المركّبة

r = −0,5 ± 3j

الثوابت

A = 3, B = 0,5·3/3 = 0,5

احسب

y(0,25) = e^−0,125(3·cos 0,75 + 0,5·sin 0,75) = 2,238

الإجابة

y(0,25) = 2,238

11.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: x = −4

المعاملات

c_k/c_k+1 = 3·((k + 1)/k)² → 3

نصف القطر

R = 3

الفترة

−4 < x < 2

x = −4

الإجابة

x = −4

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

12.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: n = 8

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

الحدود لقيم n متزايدة

n = 7: 0,0006356 ≥ 0,0005

n = 8: 0,0001059 < 0,0005

أصغر درجة

n = 8

الإجابة

n = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice