أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
المتمم الثنائي ذو 8 بتات0−12806403201608040201

اضبط البتات بحيث تخزن −74 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −748 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
32 bit1 px256 px256 pxM = ? KiB

صورة غير مضغوطة أبعادها 256 × 256 بكسل و32 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
حشوتناقضممكنة

هل ((c ∨ b) ∧ ¬c) → b حشو أم تناقض أم ممكنة؟ انقر على إجابتك.

((c ∨ b) ∧ ¬c) → b
  1. 1حشو
  2. 2تناقض
  3. 3ممكنة
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
∀x ∃y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∃y ∀x ¬R(x, y)

أي عبارة تكافئ ¬∀x ∃y R(x, y) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x ∃y R(x, y)
  1. 1∀x ∃y ¬R(x, y)
  2. 2∀x ∀y ¬R(x, y)
  3. 3∃x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∃y ∀x ¬R(x, y)
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD000111100001111011111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(1, 5, 8, 11, 12)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
CLKD1234567

قلّاب D يُحفَّز بالحافة الموجبة يبدأ بـ Q = 0 ويتلقى المداخل المعروضة عند 7 حافة ساعة صاعدة. كم مرة N يغيّر Q حالته؟

Q₀ = 0D
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 3 (mod 8) و x ≡ 12 (mod 13).

x ≡ 3 (mod 8)x ≡ 12 (mod 13)
x =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (253, 17)d = ?

يستخدم مفتاح RSA العددين الأوليين p = 11 و q = 23 والأس العام e = 17. جد الأس الخاص d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 23e = 17
d =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ترتب مصفوفة من n عنصر مرة واحدة ثم تجيب عن k استعلام عضوية بالبحث الثنائي. ما الكلفة الكلية؟

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(nk)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  2. Bتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
  3. Cتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
  4. Dتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
11.هياكل البياناتمتوسطة

طابور منفّذ بمكدسين: push إلى مكدس "in"، وpop من مكدس "out" مع إعادة ملئه من "in" حين يفرغ. ما الكلفة المستهلَكة لكل عملية؟

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
12.هياكل البياناتصعبة

لماذا تستخدم قواعد البيانات غالبًا أشجار B+ بدلًا من أشجار B العادية للفهارس؟

  1. Aلأن أشجار B+ لا تخزّن البيانات إلا في الجذر
  2. Bلأن أشجار B+ لا تحتاج إلى التوازن
  3. Cلأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
  4. Dلأن أشجار B+ تستخدم عقدًا داخلية ثنائية، ما يقلل عدد قراءات القرص
13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 11 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 11|E| = 17
k =
14.نظرية البياناتصعبة
4197201961415ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 9
W =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ما القراءة القذرة (dirty read)؟

  1. Aقراءة البيانات دون جملة WHERE
  2. Bقراءة بيانات من قرص تالف
  3. Cقراءة بيانات كتبتها معاملة أخرى لم تُثبَّت بعد
  4. Dقراءة الصف نفسه مرتين والحصول على القيمة نفسها
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

مع التحكم في التزامن متعدد الإصدارات (MVCC)، كيف يتجنب القرّاء حجب الكتّاب؟

  1. Aينتظر القرّاء دائمًا حتى يثبّت جميع الكتّاب
  2. Bلا يُسمح بالكتابة ما دام أي قارئ نشطًا
  3. Cيقرأ القرّاء البيانات غير المثبَّتة مباشرة
  4. Dيرى القرّاء لقطة متسقة من إصدارات الصفوف المثبَّتة بينما ينشئ الكتّاب إصدارات جديدة
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لماذا يرسل المبدّل أحيانًا إطارًا عبر جميع المنافذ باستثناء المنفذ الذي جاء منه؟

  1. Aلأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد
  2. Bلأن الإطار أكبر من أن يمر عبر منفذ واحد
  3. Cلأن المبدّل يعمل عمل الموجّه
  4. Dلأن الإطار يحمل مجموع تحقق IP خاطئًا ويجب أن يفحصه كل مضيف
18.شبكات الحاسوبصعبة

يستطيع حاسوب الوصول إلى الطابعات في شبكته الفرعية لكن لا شيء خارجها، وعنوان IP والقناع صحيحان. ما العطل الأرجح؟

  1. Aبوابة افتراضية مفقودة أو خاطئة
  2. Bإعداد خاطئ لخادم DNS
  3. Cنافذة TCP صغيرة جدًا
  4. Dعنوان MAC مكرر على الإنترنت
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /2911111111111111111111111111111000بتات الشبكةبتات المضيف

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 20 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/2420 subnets
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة
الثُمانية الثالثة 157 … 162112806403211618140211مشتركمتغيّر

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.232.157.0/24, 10.232.158.0/24, 10.232.159.0/24, 10.232.160.0/24, 10.232.161.0/24, 10.232.162.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.232.157.0/24 … 10.232.162.0/24
p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 182

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

74 = 0100 1010
مقلوب: 1011 0101
+1 → 1011 0110

اقرأه بلا إشارة

1011 0110₂ = 256 − 74 = 182

الإجابة

U = 182
2.أنظمة العد

الإجابة: M = 256 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

حوّل إلى KiB

262144/1024 = 256 KiB

الإجابة

M = 256 KiB
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: حشو

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

جدول الصدق صفًا صفًا

b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬c = 0, (c ∨ b) ∧ ¬c = 0, ((c ∨ b) ∧ ¬c) → b = 1
b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬c = 1, (c ∨ b) ∧ ¬c = 1, ((c ∨ b) ∧ ¬c) → b = 1
b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, ¬c = 0, (c ∨ b) ∧ ¬c = 0, ((c ∨ b) ∧ ¬c) → b = 1
b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬c = 1, (c ∨ b) ∧ ¬c = 0, ((c ∨ b) ∧ ¬c) → b = 1

صنّف

((c ∨ b) ∧ ¬c) → b: 1, 1, 1, 1
1 في كل صف: حشو.

الإجابة

حشو
4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x ∀y ¬R(x, y)

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

الإجابة

∃x ∀y ¬R(x, y)

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 10, CD = 11

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m11: m10, m9, m15, m3 → 0
ABCD000111100001111011111

الـ 1 المعزول

m11 = AB′CD → AB = 10, CD = 11

الإجابة

AB = 10, CD = 11
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

Q بعد كل حافة

يَنسخ قلّاب D القيمة D عند كل حافة صاعدة: Q⁺ = D.

1: D = 1 → Q = 1
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 0 → Q = 0
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 0 → Q = 0
7: D = 0 → Q = 0

عُدّ التغيرات

0 → 1 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0
N = 2

الإجابة

N = 2
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 51

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

التطابق الأول

x = 3 + 8k

التطابق الثاني

3 + 8k ≡ 12 (mod 13) → 8k ≡ 9 (mod 13)
k ≡ 5·9 ≡ 6 (mod 13)

النتيجة

x = 3 + 8·6 = 51
x = 51
تحقّق: 51 mod 8 = 3, 51 mod 13 = 12

الإجابة

x = 51
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: d = 13

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

المقياس ودالة أويلر

n = 11·23 = 253
φ(n) = 10·22 = 220

خوارزمية إقليدس الموسّعة

r = 220, t = 0
r = 17, q = 12, t = 1
r = 16, q = 1, t = −12
r = 1, q = 16, t = 13

الأس الخاص

d = 13
تحقّق: 17·13 = 221 = 1·220 + 1

الإجابة

d = 13
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n + k log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يكلف الفرز O(n log n) وكل استعلام O(log n)، وهذا يتفوق على k مسحًا خطيًا (O(nk)) عندما تكون k كبيرة.

الإجابة

A · O(n log n + k log n)
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

A · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
11.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يُدفع كل عنصر ويُسحب مرتين على الأكثر إجمالًا، فرغم أن إعادة ملء واحدة قد تستغرق O(n)، يكون المتوسط على سلسلة العمليات O(1).

الإجابة

B · O(1)
12.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا

لماذا هذه هي الإجابة

في شجرة B+ لا توجّه العقد الداخلية إلا البحث، والأوراق مترابطة بترتيب المفاتيح، فيجد استعلام المدى المفتاح الأول ثم يسير على طول الأوراق.

الإجابة

C · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
13.نظرية البيانات

الإجابة: k = 7

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

11 − 1 = 10

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 10 = 7

الإجابة

k = 7
14.نظرية البيانات

الإجابة: W = 47

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

EF (1): خذ
AB (4): خذ
GC (6): خذ
BC (7): خذ
GB (9): تخطَّ، تُغلق دورة
GD (14): خذ
GE (15): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 4 + 6 + 7 + 14 + 15 = 47

الإجابة

W = 47
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: C · قراءة بيانات كتبتها معاملة أخرى لم تُثبَّت بعد

لماذا هذه هي الإجابة

ترى القراءة القذرة تغييرات غير مثبَّتة قد يُتراجع عنها، ولا تكون ممكنة إلا في مستوى read uncommitted.

الإجابة

C · قراءة بيانات كتبتها معاملة أخرى لم تُثبَّت بعد
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: D · يرى القرّاء لقطة متسقة من إصدارات الصفوف المثبَّتة بينما ينشئ الكتّاب إصدارات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ MVCC بالإصدارات القديمة للصفوف، فيرى القارئ البيانات كما كانت في لقطته، بينما ينشئ الكاتب إصدارًا جديدًا بدلًا من الكتابة فوق القديم في مكانه.

الإجابة

D · يرى القرّاء لقطة متسقة من إصدارات الصفوف المثبَّتة بينما ينشئ الكتّاب إصدارات جديدة
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: A · لأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة عنوان أحادي البث غير معروف يُغرق المبدّل جميع المنافذ بالإطار. وعندما ترد الوجهة يتعلم المبدّل منفذها من عنوان MAC للمصدر.

الإجابة

A · لأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: A · بوابة افتراضية مفقودة أو خاطئة

لماذا هذه هي الإجابة

يرسل المضيفون الحزم الموجهة خارج الشبكة الفرعية إلى البوابة الافتراضية. فإذا كانت خاطئة أو مفقودة تظل الحركة المحلية تعمل لكن لا يمكن الوصول إلى أي شيء خارجها، حتى بعنوان IP.

الإجابة

A · بوابة افتراضية مفقودة أو خاطئة
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 6

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

25 = 32 ≥ 20 → b = 5, /29

المضيفون في كل شبكة فرعية

23 − 2 = 6

الإجابة

H = 6
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 18

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

157 = 10011101
162 = 10100010
البتات الأولى المشتركة: 2

طول البادئة

p = 16 + 2 = 18

الإجابة

p = /18

المسار التلخيصي: 10.232.128.0/18 (وهو يغطّي أيضًا 58 شبكة (شبكات) ليست في القائمة).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals