أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −22 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −228 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 256 × 256 بكسل و24 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

256 × 256 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

(¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b)

N =

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

الحجة ذات المقدمات b → c; ¬b والاستنتاج ¬c غير صحيحة. انقر على صف جدول الصدق الذي يمثل مثالًا مضادًا.

b → c¬b∴ ¬c

1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

لمضاعِف 4-إلى-1 مدخلا الاختيار S₁ = A و S₀ = B، ومداخل بياناته موصولة بـ I₀ = 1, I₁ = C, I₂ = C, I₃ = C′. في كم من تركيبات A و B و C الثماني يكون المخرج F = 1؟ جد N.

I₀ = 1I₁ = CI₂ = CI₃ = C′

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 9) + d(10, 12, 13, 15)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 9) + d(10, 12, 13, 15)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد دالة أويلر φ φ(847)، أي عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى 847 التي أولية مع 847.

n = 847 = 7·11²

φ(847) =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

شفّر الرسالة m = 16 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (377, 5). جد النص المشفّر c.

n = 377e = 5m = 16

c =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا يُحذف أساس اللوغاريتم عادةً في O الكبير، كما في O(log n)؟

Aلأن اللوغاريتمات تُقرَّب دائمًا إلى أعداد صحيحة
Bلأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
Cلأن الأساس لا يهم إلا عندما تكون n صغيرة
Dكل اللوغاريتمات في علوم الحاسوب أساسها 10، فهو مفهوم ضمنًا

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

Aزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
Bزمن O(n) ومساحة O(n)
Cزمن O(log n) ومساحة O(n)
Dزمن O(n) ومساحة O(1)

11.هياكل البياناتمتوسطة

أي بنية بيانات يستخدمها البرنامج قيد التشغيل لتتبع استدعاءات الدوال النشطة ومتغيراتها المحلية؟

Aطابور ذاكرة الكومة
Bمكدس الاستدعاءات (call stack)
Cجدول تجزئة للدوال
Dشجرة بحث ثنائية للإطارات

12.هياكل البياناتصعبة

ما كلفة الزمن والمساحة الإضافية لعكس قائمة مترابطة أحادية في مكانها؟

Aزمن O(1) ومساحة إضافية O(1)
Bزمن O(n log n) ومساحة إضافية O(1)
Cزمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
Dزمن O(n) ومساحة إضافية O(n)

13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 5, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 34 × deg 53 × deg 2

L =

14.نظرية البياناتصعبة

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 5|E| = 7

W =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

لماذا لا يمكن أن يكون للجدول إلا فهرس عنقودي (clustered) واحد؟

Aلأن الفهارس العنقودية تستهلك ذاكرة كبيرة جدًا
Bلأن الصفوف لا يمكن تخزينها فعليًا إلا بترتيب واحد
Cلأن معيار SQL يمنع وجود أكثر من فهرس واحد على الجدول
Dلأن الفهارس العنقودية لا تكون إلا على المفتاح الأساسي

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

للجدول enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) المفتاح (student_id, course_id). أي صيغة طبيعية يخالفها؟

Aالصيغة الطبيعية الثالثة فقط، لأن grade تعتمد على student_name
Bالصيغة الطبيعية الثانية، لأن student_name يعتمد على student_id فقط
Cلا شيء، فهو في BCNF
Dالصيغة الطبيعية الأولى، لأن عمود grade لا يحمل قيمًا ذرية

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

أي قناع شبكة فرعية يقابل /20؟

A255.255.248.0
B255.255.240.0
C255.255.224.0
D255.255.255.240

18.شبكات الحاسوبصعبة

وفق صيغة نايكويست، ما أقصى معدل بتات لقناة عرضها 3 kHz خالية من الضوضاء تستخدم 4 مستويات للإشارة؟

A3 kbit/s
B6 kbit/s
C12 kbit/s
D24 kbit/s

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 844 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

844 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.132.62.0/24, 10.132.63.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.132.62.0/24 … 10.132.63.0/24

p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 234

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

22 = 0001 0110

مقلوب: 1110 1001

+1 → 1110 1010

اقرأه بلا إشارة

1110 1010₂ = 256 − 22 = 234

الإجابة

U = 234

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 192 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

256·256·24 = 1572864 bit = 196608 B

حوّل إلى KiB

196608/1024 = 192 KiB

الإجابة

M = 192 KiB

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 1

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 1, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 1, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ∧ a = 1, b ↔ a = 1, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 0, (b ↔ a) ∨ b = 0, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ∧ a = 1, b ↔ a = 0, (b ↔ a) ∨ b = 0, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 0, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 0, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 1, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, b ↔ a = 1, (b ↔ a) ∨ b = 1, (¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

(¬c ∧ a) ∧ ((b ↔ a) ∨ b): 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0

N = 1

الإجابة

N = 1

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: b = 0, c = 1

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

المقدمات والاستنتاج صفًا صفًا

b = 1, c = 1: 1 0 | 0

b = 1, c = 0: 0 0 | 1

b = 0, c = 1: 1 1 | 0

b = 0, c = 0: 1 1 | 1

مثال مضاد

b = 0, c = 1

الإجابة

b = 0, c = 1

حجة بهذه الصيغة تبدو قاعدة صحيحة، لكن صفًا واحدًا يكفي لإثبات أنها ليست كذلك.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 5

المضاعِف (MUX): يمرّر المضاعِف 2ⁿ-إلى-1 أحد مداخل البيانات إلى المخرج؛ وخطوط الاختيار، مقروءة كعدد ثنائي، تحدد أيّها. لمضاعِف 4-إلى-1 مع الاختيارين S₁S₀ = AB، F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. وبوصل مداخل البيانات بـ 0 أو 1 أو C أو C′ ينتج المضاعِف أي دالة في A و B و C، وهي طريقة شائعة لبناء المنطق بشريحة واحدة.

تعبير الخرج

F = A′B′ + A′BC + AB′C + ABC′

الصفوف التي F = 1 فيها

ABC = 000, 001, 011, 101, 110

N = 5

الإجابة

N = 5

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 1

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′C′D, BCD, A′CD, AC′D, A′B′D, A′BC

المضمّنات الأولية الجوهرية

A′BC

N = 1

الإجابة

N = 1

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: φ(847) = 660

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

العوامل الأولية

847 = 7·11²

دالة أويلر φ

φ(847) = φ(121)·φ(7) = 110·6 = 660

الإجابة

φ(847) = 660

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: c = 139

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

التربيع المتكرر

5 = 4 + 1

16¹ ≡ 16 (mod 377)

C · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)

13.نظرية البيانات

الإجابة: L = 18

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 38 = 2(L + 11) − 2

L = 18

الإجابة

L = 18

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: W = 29

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

AC (1): خذ

BD (6): خذ

C · 12 kbit/s

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 22

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2⁹ − 2 = 510 < 844

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 844 → h = 10

طول البادئة

p = 32 − 10 = 22

الإجابة

p = /22

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 23

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

62 = 00111110

63 = 00111111

البتات الأولى المشتركة: 7

طول البادئة

p = 16 + 7 = 23

الإجابة

p = /23

المسار التلخيصي: 10.132.62.0/23

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals