أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
القيم الموضعية في المتمم الثنائي1−12816403201608040201

النمط ذو 8 بتات 1100 0000 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1100 00008 bit
N =
2.أنظمة العدصعبة
انقر على البتات لضبطها012806403201608040201

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0111 1100 OR 0011 1101. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0111 1100OR0011 1101
R =
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
pqrq ∨ rp ∨ (q ∨ r)((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r))111?110?101?100?011?010?001?000?

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r))
N =
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))

أي عبارة تكافئ ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x (F(x) ∨ G(x))
  1. 1∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
  2. 2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
  3. 3∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
  4. 4∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD00011110000111101111111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(1, 4, 5, 6, 7, 8, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
ABCD000111100001111000X113121405X716012013115X140809111X10

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 11, 15) + d(1, 7, 10, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 11, 15) + d(1, 7, 10, 14)
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد دالة أويلر φ φ(104)، أي عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى 104 التي أولية مع 104.

n = 104 = 23·13
φ(104) =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

استخدم التربيع المتكرر لإيجاد 14165 mod 39.

a = 14k = 165n = 39
14165 mod 39 =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لضرب مصفوفتين n × n بالحلقة الثلاثية القياسية؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  2. Bلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  3. Cنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  4. Dلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
11.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
12.هياكل البياناتصعبة

في المخزن المؤقت الدائري (circular buffer)، قد يعني front == rear الفراغ أو الامتلاء. ما الطريقة الشائعة للتمييز بينهما؟

  1. Aالاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
  2. Bجعل حجم المخزن قوة للعدد اثنين
  3. Cمسح المخزن دائمًا حين يتساوى front وrear، فتكون الحالة فارغة
  4. Dتخزين front وrear في المتغير نفسه
13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 14 رؤوس و24 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 14|E| = 24
k =
14.نظرية البياناتصعبة
18961039512ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا يُرجع SELECT SUM(amount) FROM orders عندما لا تطابق جملة WHERE أي صفوف؟

  1. ANULL
  2. B0
  3. Cخطأ
  4. Dسلسلة نصية فارغة
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

الدرجات هي 90 و90 و80. أي قيم يعطي RANK() OVER (ORDER BY score DESC)؟

  1. A2, 2, 3
  2. B1, 1, 2
  3. C1, 2, 3
  4. D1, 1, 3
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما عنوان الاسترجاع في IPv6؟

  1. Afe80::1
  2. B::1
  3. Cff02::1
  4. D::
18.شبكات الحاسوبصعبة

ما الوظيفة الرئيسية لـ BGP على الإنترنت؟

  1. Aتشفير البيانات بين الموجّهات
  2. Bتخصيص عناوين IP للمستخدمين المنزليين عبر مزودي خدمة الإنترنت
  3. Cتبادل معلومات التوجيه بين الأنظمة المستقلة
  4. Dتحليل الأسماء إلى عناوين
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /2611111111111111111111111111000000بتات الشبكةبتات المضيف

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 4 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/244 subnets
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة
الثُمانية الأخيرة = 5012806403201608140211الشبكةالمضيف

عنوان مضيف هو 10.20.237.5/30. ما الثُمانية الرابعة x من آخر عنوان مضيف قابل للاستخدام في شبكته الفرعية؟

10.20.237.5/30
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −64

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 = −64

الإجابة

N = −64
2.أنظمة العد

الإجابة: R = 125

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

بتًا ببت

تعطي OR القيمة 1 حيث يكون أحد البتين على الأقل 1.

0111 1100
OR 0011 1101
= 0111 1101

قيمة الناتج

0111 1101₂ = 125

الإجابة

R = 125
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 4

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 1, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 1, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 0, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: ¬p = 0, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 0, q ∨ r = 0, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: ¬p = 1, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 1, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: ¬p = 1, ¬p → r = 0, (¬p → r) → q = 1, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: ¬p = 1, ¬p → r = 1, (¬p → r) → q = 0, q ∨ r = 1, p ∨ (q ∨ r) = 1, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: ¬p = 1, ¬p → r = 0, (¬p → r) → q = 1, q ∨ r = 0, p ∨ (q ∨ r) = 0, ((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

((¬p → r) → q) ∧ (p ∨ (q ∨ r)): 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0
N = 4

الإجابة

N = 4
4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

الإجابة

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 10, CD = 00

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m8: m9, m10, m12, m0 → 0
ABCD00011110000111101111111

الـ 1 المعزول

m8 = AB′C′D′ → AB = 10, CD = 00

الإجابة

AB = 10, CD = 00
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

C, A′B′D, A′BD′
ABCD000111100001111000X113121405X716012013115X140809111X10

التغطية الدنيا

F = C + A′BD′
N = 2

الإجابة

N = 2
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: φ(104) = 48

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

العوامل الأولية

104 = 23·13

دالة أويلر φ

φ(104) = φ(8)·φ(13) = 4·12 = 48

الإجابة

φ(104) = 48
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 14165 mod 39 = 14

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

الأس الثنائي

165 = 101001012 = 128 + 32 + 4 + 1

التربيع المتكرر

141 ≡ 14 (mod 39)
142 ≡ 1 (mod 39)
144 ≡ 1 (mod 39)
148 ≡ 1 (mod 39)
1416 ≡ 1 (mod 39)
1432 ≡ 1 (mod 39)
1464 ≡ 1 (mod 39)
14128 ≡ 1 (mod 39)

اضرب القوى المطلوبة

14165 ≡ 14·1·1·1 ≡ 14 (mod 39)

الإجابة

14165 mod 39 = 14
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n² مدخلًا ويحتاج كل منها إلى n عملية ضرب، فيكون العدد n³ عملية.

الإجابة

C · O(n³)
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

B · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
11.هياكل البيانات

الإجابة: A · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

A · 14
12.هياكل البيانات

الإجابة: A · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع العدّاد يعني الفراغ count = 0 ويعني الامتلاء count = capacity، ومع خانة فارغة واحدة يُعرَّف الامتلاء بأنه (rear + 1) mod n == front.

الإجابة

A · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
13.نظرية البيانات

الإجابة: k = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

14 − 1 = 13

الحواف المراد حذفها

k = 24 − 13 = 11

الإجابة

k = 11
14.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 19

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 1
B (1): C: 9, D: 10, G: 10
C (9)
D (10): E: 16, F: 20
G (10)
E (16): F: 19
F (19)

أقصر مسار

A → B → D → E → F
d(F) = 19

الإجابة

d(F) = 19
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: A · NULL

لماذا هذه هي الإجابة

تُرجع SUM وAVG وMIN وMAX القيمة NULL على مجموعة فارغة، بينما تُرجع COUNT القيمة 0؛ وتعطي COALESCE(SUM(amount), 0) القيمة 0 بدلًا من ذلك.

الإجابة

A · NULL
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: D · 1, 1, 3

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي RANK الصفوف المتعادلة الرتبة نفسها وتتخطى الأرقام التالية (1, 1, 3)؛ أما DENSE_RANK فتعطي 1, 1, 2.

الإجابة

D · 1, 1, 3
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: B · ::1

لماذا هذه هي الإجابة

‎::1 هو عنوان الاسترجاع. و:: هو العنوان غير المحدد، وfe80::/10 للوصلة المحلية، وff02::1 هو مجموعة البث المتعدد لجميع العقد.

الإجابة

B · ::1
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: C · تبادل معلومات التوجيه بين الأنظمة المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

BGP هو بروتوكول التوجيه بين النطاقات؛ إذ تعلن الأنظمة المستقلة عن البادئات التي يمكن الوصول إليها وتختار المسارات وفق السياسات.

الإجابة

C · تبادل معلومات التوجيه بين الأنظمة المستقلة
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 62

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

22 = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

المضيفون في كل شبكة فرعية

26 − 2 = 62

الإجابة

H = 62
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 6

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

حجم الكتلة

22 = 4

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊5/4⌋·4 = 4
البث: 4 + 4 − 1 = 7
المضيفون القابلون للاستخدام: 5 … 6

الإجابة

x = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals