أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
المتمم الثنائي ذو 8 بتات0−12806403201608040201

اضبط البتات بحيث تخزن −54 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −548 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
820 رموز، b = ؟ بت?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

يجب أن يعطي نظام كل واحد من 820 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟

820
b = bit
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
b → ¬a¬b ∨ ¬ab ∧ ¬a¬b → ¬a

أي صيغة تكافئ ¬(b → a) منطقيًا؟ انقر عليها.

¬(b → a)
  1. 1b → ¬a
  2. 2¬b ∨ ¬a
  3. 3b ∧ ¬a
  4. 4¬b → ¬a
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
q ∧ r¬ppq

المقدمات q ∨ r; q → p; r → p معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

q ∨ rq → pr → p
  1. 1q ∧ r
  2. 2¬p
  3. 3p
  4. 4q
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABC000111100101324576

بسّط F = B′C′ + B′C + ABC + AB′C′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = B′C′ + B′C + ABC + AB′C′
L =
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
DQ3​Q3​DQ2​Q2​DQ1​Q1​DQ0​Q0​CLKSHIFT

مسجّل إزاحة من 4 بتّات Q₃Q₂Q₁Q₀ يحمل 1100. عند كل حافة ساعة تنزاح البتّات مكانًا واحدًا إلى اليمين (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀، ويضيع Q₀) ويدخل المدخل التسلسلي إلى Q₃. المدخل التسلسلي هو 1, 1, 1, 1, 1 عند الحواف 5. أعطِ الحالة النهائية Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ كعدد عشري.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11001, 1, 1, 1, 1
Q =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 61 بالنسبة إلى 66: العدد x مع 0 < x < 66 و 61·x ≡ 1 (mod 66).

a = 61n = 66
61−1 mod 66 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
mc = me​ mod n408m = cd​ mod n?(n, e) = (559, 11)d

يستخدم مفتاح RSA القيم p = 13 و q = 43 و e = 11. فكّ تشفير النص المشفّر c = 408: جد الرسالة m.

p = 13q = 43e = 11c = 408
m =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما زمن تنفيذ الفرز الجذري LSD على n عددًا صحيحًا من d خانة في الأساس k؟

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(dn log k)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
  2. Bلا هذا ولا ذاك
  3. Cالنوعان كلاهما
  4. Dحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
11.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
  2. Bيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  3. Cيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  4. Dيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
12.هياكل البياناتصعبة

ما الخاصية التي يجب أن تحققها الشجرة الحمراء-السوداء؟

  1. Aكل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
  2. Bيجب أن يكون الجذر أحمر
  3. Cيجب أن تكون كل عقدة حمراء
  4. Dيجب أن يكون لكل عقدة حمراء أبناء حمر، فتشكّل العقد الحمراء سلاسل متصلة حتى الأوراق
13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 9 رؤوس و20 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 9|E| = 20
k =
14.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من D إلى A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

متى تكون WHERE EXISTS (subquery) صحيحة لصف ما؟

  1. Aعندما يُرجع الاستعلام الفرعي صفًا واحدًا على الأقل
  2. Bعندما لا يُرجع الاستعلام الفرعي أي قيم NULL
  3. Cعندما يُرجع الاستعلام الفرعي صفًا واحدًا بالضبط
  4. Dعندما يُرجع الاستعلام الفرعي عددًا أكبر من الصفر
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

لماذا قد لا يستخدم استعلام يحتوي على WHERE YEAR(order_date) = 2025 فهرسًا على order_date؟

  1. Aلا يُستخدم الفهرس على order_date إلا مع ORDER BY، ولا يُستخدم أبدًا مع WHERE
  2. Bالفهارس لا تعمل أبدًا مع التواريخ
  3. Cتطبيق دالة على العمود يمنع البحث البسيط بالنطاق في الفهرس
  4. DYEAR ليست SQL صالحة
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لماذا يُفضَّل UDP غالبًا في مكالمات الفيديو المباشرة؟

  1. Aلأن UDP مطلوب لكل أنواع الفيديو
  2. Bلأن انخفاض التأخير أهم من إعادة إرسال كل حزمة مفقودة
  3. Cلأن UDP يشفّر البيانات تلقائيًا
  4. Dلأن UDP يضمن وصول كل حزمة، فلا تتجمد الصورة أبدًا
18.شبكات الحاسوبصعبة

يحجب جدار حماية كل رسائل ICMP. تعمل طلبات الويب الصغيرة، لكن التنزيلات الكبيرة عبر بعض المسارات تتوقف. ما السبب المرجح؟

  1. Aتُرسل شهادات TLS عبر ICMP
  2. Bيحتاج DNS إلى ICMP لتحليل الأسماء
  3. Cيفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة
  4. Dلا يستطيع TCP فتح الاتصالات دون ICMP
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /2811111111111111111111111111110000بتات الشبكةبتات المضيف

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 12 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/2412 subnets
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

تُقسَّم الشبكة 192.168.47.0/24 بتقنية VLSM لهذه الشبكات المحلية: A: 5 مضيفون, B: 106 مضيفون, C: 11 مضيفون, D: 50 مضيفون. تُخصَّص الشبكات الفرعية من .0 صعودًا، بدءًا بالشبكة المحلية ذات أكبر عدد من المضيفين، لكلٍّ منها أصغر شبكة فرعية تكفيها. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكة LAN C؟

A: 5B: 106C: 11D: 50
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 202

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

54 = 0011 0110
مقلوب: 1100 1001
+1 → 1100 1010

اقرأه بلا إشارة

1100 1010₂ = 256 − 54 = 202

الإجابة

U = 202
2.أنظمة العد

الإجابة: b = 10 bit

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

قوى العدد 2

29 = 512 < 820
210 = 1024 ≥ 820

الإجابة

b = 10
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: b ∧ ¬a

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b: الصف الوحيد الذي يفشل فيه الاستلزام.
¬(b → a) ≡ b ∧ ¬a

تحقق بجدول الصدق

a = 1, b = 1: 0 | 0 0 0 1
a = 1, b = 0: 0 | 1 1 0 0
a = 0, b = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 0, b = 0: 0 | 1 1 0 1

الإجابة

b ∧ ¬a

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: p

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

p = 1, q = 1, r = 1: q ∧ r = 1, ¬p = 0, p = 1, q = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q ∧ r = 0, ¬p = 0, p = 1, q = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q ∧ r = 0, ¬p = 0, p = 1, q = 0

الخلاصة

p (البرهان بالحالات)

الإجابة

p
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 3

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

B′C′ → m(0, 4)
B′C → m(1, 5)
ABC → m(7)
AB′C′ → m(4)
ABC00011110011011030214151706

جمّع واقرأ

F = B′ + AC

عُدّ الحروف

L = 3

الإجابة

L = 3
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: Q = 15

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

الحالة بعد كل حافة

1100 → 1110 → 1111 → 1111 → 1111 → 1111

القيمة العشرية

1111₂ = 15

الإجابة

Q = 15
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 61−1 mod 66 = 13

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·61 (mod 66).

r = 66, t = 0
r = 61, q = 1, t = 1
r = 5, q = 12, t = −1
r = 1, q = 5, t = 13

المعكوس

1 ≡ 13·61 (mod 66)
x = 13
تحقّق: 61·13 = 793 = 12·66 + 1

الإجابة

61−1 mod 66 = 13
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: m = 398

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

الأس الخاص

n = 559, φ(n) = 504
d = 11−1 mod 504 = 275

فك التشفير بالتربيع المتكرر

275 = 256 + 16 + 2 + 1
4081 ≡ 408 (mod 559)
4082 ≡ 441 (mod 559)
4084 ≡ 508 (mod 559)
4088 ≡ 365 (mod 559)
40816 ≡ 183 (mod 559)
40832 ≡ 508 (mod 559)
40864 ≡ 365 (mod 559)
408128 ≡ 183 (mod 559)
408256 ≡ 508 (mod 559)
408275 ≡ 408·441·183·508 ≡ 398 (mod 559)

الرسالة

m = 398
تحقّق: 39811 mod 559 = 408

الإجابة

m = 398
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(d(n + k))

لماذا هذه هي الإجابة

كل مرور من المرورات d فرز بالعدّ كلفته O(n + k)، فيكون المجموع خطيًا في n عندما تكون d وk ثابتتين.

الإجابة

B · O(d(n + k))
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
11.هياكل البيانات

الإجابة: D · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

D · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
12.هياكل البيانات

الإجابة: A · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء

لماذا هذه هي الإجابة

قواعد الشجرة الحمراء-السوداء: العقد حمراء أو سوداء، والجذر أسود، وأبناء العقد الحمراء سود، ولجميع المسارات الارتفاع الأسود نفسه، مما يبقي الارتفاع ≤ 2 log₂(n + 1).

الإجابة

A · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
13.نظرية البيانات

الإجابة: k = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

9 − 1 = 8

الحواف المراد حذفها

k = 20 − 8 = 12

الإجابة

k = 12
14.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 = 1

الإجابة

N = 1
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: A · عندما يُرجع الاستعلام الفرعي صفًا واحدًا على الأقل

لماذا هذه هي الإجابة

لا تتحقق EXISTS إلا مما إذا أُنتج أي صف؛ وتكون NOT EXISTS صحيحة عندما لا يُرجع الاستعلام الفرعي أي صفوف.

الإجابة

A · عندما يُرجع الاستعلام الفرعي صفًا واحدًا على الأقل
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: C · تطبيق دالة على العمود يمنع البحث البسيط بالنطاق في الفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

هذا التعبير ليس "sargable"؛ واستخدام order_date >= '2025-01-01' AND order_date < '2026-01-01' يتيح مسح نطاق الفهرس.

الإجابة

C · تطبيق دالة على العمود يمنع البحث البسيط بالنطاق في الفهرس
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: B · لأن انخفاض التأخير أهم من إعادة إرسال كل حزمة مفقودة

لماذا هذه هي الإجابة

إعادة إرسال الحزم المفقودة ستزيد التأخير؛ والوسائط في الوقت الحقيقي تتحمل بعض الفقد، لذا تُستخدم بروتوكولات مبنية على UDP مثل RTP.

الإجابة

B · لأن انخفاض التأخير أهم من إعادة إرسال كل حزمة مفقودة
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: C · يفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة

لماذا هذه هي الإجابة

يعتمد PMTUD على رسائل ICMP لمعرفة قيمة MTU الأصغر. فإذا أُسقطت تختفي الحزم الكبيرة بصمت، فينشأ اتصال "ثقب أسود".

الإجابة

C · يفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 14

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

24 = 16 ≥ 12 → b = 4, /28

المضيفون في كل شبكة فرعية

24 − 2 = 14

الإجابة

H = 14
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 192

VLSM: تحصل كل شبكة محلية على أصغر شبكة فرعية تحقّق 2ʰ − 2 ≥ عدد مضيفيها، أي البادئة 32 − h. تخصيص الشبكات الفرعية الأكبر أولًا يُبقي كل كتلة محاذية لمضاعف حجمها، لذا تُستنتج عناوين الشبكات بجمع أحجام الكتل.

حجم الكتلة لكل شبكة محلية

B: 106 مضيفون → 27 = 128 (/25)
D: 50 مضيفون → 26 = 64 (/26)
C: 11 مضيفون → 24 = 16 (/28)
A: 5 مضيفون → 23 = 8 (/29)

التخصيص، الأكبر أولًا

B: .0 – .127
D: .128 – .191
C: .192 – .207
A: .208 – .215

الإجابة

x = 192

LAN C: 192.168.47.192/28.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals