أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −44 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −448 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0010 1101 >> 1. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0010 1101>> 1

R =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

أي صيغة تكافئ ¬(q ↔ p) منطقيًا؟ انقر عليها.

¬(q ↔ p)

1q ∧ ¬p
2q ↔ ¬p
3¬q ∨ ¬p
4¬q ↔ ¬p

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

الحجة ذات المقدمات p → q; q والاستنتاج p غير صحيحة. انقر على صف جدول الصدق الذي يمثل مثالًا مضادًا.

p → qq∴ p

1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 10, 11, 13). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 10, 11, 13)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

للدالة F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 8, 11, 12) + d(5, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 8, 11, 12) + d(5, 14)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

حلّ 72x ≡ 64 (mod 83). أعطِ الحل x مع 0 < x < 83.

72x ≡ 64 (mod 83)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

كم حلًّا N للتطابق 63x ≡ 33 (mod 87) في {0, 1, …, 86}؟

63x ≡ 33 (mod 87)

N =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n/2) + O(1)؟

AO(n)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(1)

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يحقق ضرب كاراتسوبا T(n) = 3T(n/2) + O(n). ما حل هذه العلاقة؟

AΘ(n^{log₂ 3})، أي نحو n^1,585
BΘ(n log n)
CΘ(n³)
DΘ(n²)

11.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

Aالسبر الخطي
Bالسبر التربيعي
Cالتسلسل المنفصل (separate chaining)
Dالتجزئة المزدوجة

12.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

Aالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
Bتخزين حواف مخطط
Cتنفيذ مكدس
Dفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة

13.نظرية البياناتمتوسطة

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 9

1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك

14.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4

1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DE
7الحافة EF
8الحافة BE

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

أي عبارة تزيل جميع صفوف جدول وتُبقي بنيته ولا تقبل جملة WHERE؟

ADELETE FROM مع جملة WHERE
BTRUNCATE TABLE
CDROP TABLE
DALTER TABLE

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ماذا يُظهر EXPLAIN (أو EXPLAIN ANALYZE في PostgreSQL) لاستعلام ما؟

Aقائمة المستخدمين الذين نفّذوا الاستعلام
Bإعادة كتابة للاستعلام بترميز الجبر العلائقي فقط
Cخطة التنفيذ التي اختارها المُحسِّن، مثل عمليات المسح وطرق الربط
Dمعنى كل كلمة مفتاحية من SQL في الاستعلام

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لماذا يستخدم Wi-Fi تجنّب التصادم (CSMA/CA) بدلًا من كشف التصادم؟

Aلأن Wi-Fi لا يسمح إلا بجهاز واحد في كل شبكة
Bلأن الإشارات اللاسلكية لا تتصادم أبدًا
Cلأن كشف التصادم لا يعمل إلا على كابلات الألياف الضوئية، لا على قنوات الراديو اللاسلكية المشتركة
Dلأن المحطة اللاسلكية لا تستطيع كشف التصادمات بموثوقية أثناء إرسالها

18.شبكات الحاسوبصعبة

لمسار عرض نطاق 100 Mbit/s وزمن ذهاب وإياب 40 ms. ما مقدار البيانات الذي يجب أن يكون قيد الإرسال لإبقائه مستغلًا بالكامل؟

A50 kB
B4 kB
C500 kB
D2,5 MB

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1694 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1694 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.218.131/29. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكته؟

10.20.218.131/29

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 212

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

44 = 0010 1100

مقلوب: 1101 0011

+1 → 1101 0100

اقرأه بلا إشارة

1101 0100₂ = 256 − 44 = 212

الإجابة

U = 212

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 22

بتًا ببت

الإزاحة إلى اليمين بمقدار 1 تنقل كل بت 1 مواضع إلى اليمين؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيمن وتدخل أصفار من اليسار.

0010 1101 >> 1

= 0001 0110

قيمة الناتج

0001 0110₂ = 22

الإجابة

R = 22

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: q ↔ ¬p

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

¬(a ↔ b) تساوي 1 بالضبط عندما يختلف a و b، وهذا هو a ↔ ¬b.

¬(q ↔ p) ≡ q ↔ ¬p

تحقق بجدول الصدق

p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 0

p = 0, q = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 0, q = 0: 0 | 0 0 1 1

الإجابة

q ↔ ¬p

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: p = 0, q = 1

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

المقدمات والاستنتاج صفًا صفًا

p = 1, q = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 0: 0 0 | 1

p = 0, q = 1: 1 1 | 0

p = 0, q = 0: 1 0 | 0

مثال مضاد

p = 0, q = 1

الإجابة

p = 0, q = 1

حجة بهذه الصيغة تبدو قاعدة صحيحة، لكن صفًا واحدًا يكفي لإثبات أنها ليست كذلك.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 5

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(C + D)

(A + B + D)

(A + B′ + C)

(A′ + B + C)

(A′ + B′ + C′)

الصيغة الدنيا POS

F = (C + D)(A + B + D)(A + B′ + C)(A′ + B + C)(A′ + B′ + C′)

N = 5

الإجابة

N = 5

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 3

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′CD, BC′D′, A′CD, AC′D′, A′BD, ABD′, A′B′C, A′BC′

المضمّنات الأولية الجوهرية

B′CD, AC′D′, A′B′C

N = 3

الإجابة

N = 3

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 47

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

معكوس 72

r = 83, t = 0

r = 72, q = 1, t = 1

r = 11, q = 6, t = −1

r = 6, q = 1, t = 7

r = 5, q = 1, t = −8

r = 1, q = 5, t = 15

72⁻¹ ≡ 15 (mod 83)

الحل

x ≡ 15·64 = 960 ≡ 47 (mod 83)

تحقّق: 72·47 = 3384 ≡ 64 (mod 83)

الإجابة

x = 47

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: N = 3

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(63, 87) = 3

21x ≡ 11 (mod 29)

حلّ التطابق المختزل

21⁻¹ ≡ 18 (mod 29) → x ≡ 24 (mod 29)

الحلول بالنسبة إلى 87

x ∈ {24, 53, 82}

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

الرؤوس الفردية

دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر

14.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. CE (2)

2. AC (3)

3. EF (8)

4. AB (10)

5. DE (12)

حاصل ضرب عرض النطاق في التأخير هو 100 × 10⁶ bit/s × 0,04 s = 4 × 10⁶ بت = 500 kB. ويجب ألا تقل نافذة المرسل عن ذلك.

الإجابة

C · 500 kB

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1694

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1694 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 128

حجم الكتلة

2³ = 8

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊131/8⌋·8 = 128

البث: 128 + 8 − 1 = 135

المضيفون القابلون للاستخدام: 129 … 134

الإجابة

x = 128

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals