أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −48 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −488 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

ما أصغر (أكثر سالبية) عدد صحيح N يمكن تخزينه بالمتمم الثنائي ذي 24 بتة؟

24 bit

N =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

تريد إثبات r → p بالتناقض. أي عبارة تفترضها في البداية؟ انقر عليها.

r → p

1r ∧ ¬p
2¬r ∧ ¬p
3¬r → ¬p
4¬r ∧ p

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل ((p ↔ q) ∧ ¬(s → r)) ∧ (¬s ∨ (¬q ∧ ¬r)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

((p ↔ q) ∧ ¬(s → r)) ∧ (¬s ∨ (¬q ∧ ¬r))

N =

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 8, 15) + d(1, 10, 13)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 4, 8, 15) + d(1, 10, 13)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد دالة أويلر φ φ(52)، أي عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى 52 التي أولية مع 52.

n = 52 = 2²·13

φ(52) =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

كم حلًّا N للتطابق 6x ≡ 12 (mod 76) في {0, 1, …, 75}؟

6x ≡ 12 (mod 76)

N =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كيف تبني خوارزمية Prim شجرة امتداد صغرى؟

Aترتب كل الحواف حسب الوزن وتضيف كل حافة ما لم تُشكّل دورة في الغابة
Bتُنمّي شجرة واحدة من رأس بداية، مضيفةً أرخص حافة خارجة من الشجرة
Cتُنفّذ البحث بالعرض أولًا وتحتفظ بشجرة BFS
Dتحذف أغلى حافة حتى لا تبقى دورات

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تُظهر مسألة التوقف أنه:

Aكل برنامج يتوقف في النهاية
Bيجب تجنب الحلقات
Cبعض البرامج تعمل أسرع على حواسيب أسرع، فيعتمد التوقف على العتاد
Dلا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف

11.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

Aتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
Bألا يكون لأي عقدة ابنان
Cبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
Dارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

12.هياكل البياناتصعبة

شجرة Fenwick (الشجرة المفهرسة ثنائيًا) على مصفوفة من n عددًا تدعم أي عمليات في O(log n)؟

Aاستعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
Bإدراج العناصر في أي موضع
Cفرز المصفوفة والبحث الثنائي
Dإيجاد الوسيط في O(1)

13.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K₆؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K₆

H =

14.نظرية البياناتصعبة

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2

N =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

تزيل الصيغة الطبيعية الثالثة (3NF):

Aالفهارس الزائدة على الأعمدة التي ليست جزءًا من مفتاح
Bالاعتماديات المتعدية بين السمات غير المفتاحية
Cالمفاتيح المركّبة
Dالقيم الذرية

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ماذا تشترط قاعدة التسجيل المسبق للسجل (write-ahead logging, WAL)؟

Aلا يُكتب السجل إلا بعد التعطل
Bيجب كتابة صفحات البيانات قبل السجل
Cيجب أن يصل سجل التغيير إلى التخزين المستقر قبل أن تصل صفحة البيانات المتغيرة
Dيجب تسجيل كل استعلام قبل تحليله

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لدى موجّه مساران للشبكتين 10.0.0.0/8 و10.1.0.0/16. أي مسار يستخدم لحزمة متجهة إلى 10.1.5.5؟

A10.0.0.0/8، لأنه يغطي عناوين أكثر من /16
B10.1.0.0/16، لأنه أطول بادئة مطابقة
C10.0.0.0/8، لأنه أُضيف أولًا
Dكلا المسارين، مع تقسيم الحركة بالتساوي

18.شبكات الحاسوبصعبة

لماذا يختار TCP رقم تسلسل أوليًا لا يمكن التنبؤ به لكل اتصال؟

Aلاختيار أفضل مسار إلى الوجهة لمقاطع ذلك الاتصال
Bلتشفير حمولة كل مقطع
Cلتجنب الخلط مع المقاطع القديمة وجعل حقن المقاطع المنتحلة أصعب
Dلضغط البيانات بكفاءة أكبر

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

تُقسَّم الشبكة 10.87.216.0/24 إلى شبكات فرعية متساوية ببادئة /29. كم شبكة فرعية N توجد؟

10.87.216.0/24/29

N =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.38.234/30. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكته؟

10.20.38.234/30

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 208

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

48 = 0011 0000

مقلوب: 1100 1111

+1 → 1101 0000

اقرأه بلا إشارة

1101 0000₂ = 256 − 48 = 208

الإجابة

U = 208

2.أنظمة العد

الإجابة: N = −8,389 × 10⁶

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

القيمة الأكثر سالبية

−2²³ = −8388608

الإجابة

N = −8388608

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: r ∧ ¬p

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = r, b = p

نفي الاستلزام

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = r ∧ ¬p

الإجابة

r ∧ ¬p

إذا أدى الافتراض إلى تناقض فالاستلزام صائب حتمًا.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 1

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

الأعمدة

p ↔ q; s → r; ¬(s → r); (p ↔ q) ∧ ¬(s → r); ¬s; ¬q; ¬r; ¬q ∧ ¬r; ¬s ∨ (¬q ∧ ¬r); ((p ↔ q) ∧ ¬(s → r)) ∧ (¬s ∨ (¬q ∧ ¬r))

قسّم على p

p = 1: 0

p = 0: 1

N = 0 + 1 = 1

الإجابة

N = 1

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(B + C + D)

(B′ + C′ + D′)

(A′ + D′)

(A′ + C)

الصيغة الدنيا POS

F = (B + C + D)(B′ + C′ + D′)(A′ + D′)(A′ + C)

N = 4

الإجابة

N = 4

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′D′, A′C′D′, A′B′, ABD

التغطية الدنيا

F = B′D′ + A′C′D′ + A′B′ + ABD

N = 4

الإجابة

N = 4

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: φ(52) = 24

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

العوامل الأولية

52 = 2²·13

دالة أويلر φ

φ(52) = φ(13)·φ(4) = 12·2 = 24

الإجابة

φ(52) = 24

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: N = 2

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(6, 76) = 2

3x ≡ 6 (mod 38)

حلّ التطابق المختزل

3⁻¹ ≡ 13 (mod 38) → x ≡ 2 (mod 38)

الحلول بالنسبة إلى 76

x ∈ {2, 40}

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60

14.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان K_n عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C · لتجنب الخلط مع المقاطع القديمة وجعل حقن المقاطع المنتحلة أصعب

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

البتات المستعارة

29 − 24 = 5

عدد الشبكات الفرعية

N = 2⁵ = 32

الإجابة

N = 32

لكل شبكة فرعية /29 عدد 2³ − 2 = 6 مضيفًا قابلًا للاستخدام.

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 232

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

حجم الكتلة

2² = 4

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊234/4⌋·4 = 232

البث: 232 + 4 − 1 = 235

المضيفون القابلون للاستخدام: 233 … 234

الإجابة

x = 232

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals