أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1110 1011 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1110 10118 bit

N =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 1920 × 1080 بكسل و8 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

1920 × 1080 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

هل ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) حشو أم تناقض أم ممكنة؟ انقر على إجابتك.

((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q)

1حشو
2تناقض
3ممكنة

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x (P(x) ∨ Q(x))

1∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
4∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = AC + A′B + A′BC إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = AC + A′B + A′BC

L =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15) + d(4, 5)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15) + d(4, 5)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 41 بالنسبة إلى 59: العدد x مع 0 < x < 59 و 41·x ≡ 1 (mod 59).

a = 41n = 59

41⁻¹ mod 59 =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

شفّر الرسالة m = 219 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (589, 17). جد النص المشفّر c.

n = 589e = 17m = 219

c =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

Aمدخلات عشوائية فقط
Bلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
Cحلقة واحدة
Dمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

A2ⁿ تنمو أسرع من n!
Bn! تنمو أسرع من 2ⁿ
Cn! هي O(n²)
Dتنموان بالمعدل نفسه

11.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

Aاجتياز مخطط
Bشجرة بحث ثنائية
Cدالة تجزئة
Dطابور ثابت الحجم

12.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

Aمبادلتها مع الجذر
Bاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
Cإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
Dإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه

13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 52 × deg 2

L =

14.نظرية البياناتصعبة

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ما حقن SQL (SQL injection)؟

Aهجوم تُغيّر فيه مدخلات المستخدم بنية استعلام SQL
Bتقنية لإدراج صفوف كثيرة بسرعة بعبارة INSERT واحدة
Cطريقة لإضافة الفهارس
Dتقنية للنسخ الاحتياطي لقاعدة البيانات

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

بالنظر إلى الاعتماديات الدالية A → B وB → C وC → D على R(A, B, C, D)، ما الانغلاق A⁺؟

A{A, B, C}
B{A, B}
C{A, B, C, D}
D{A}

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

أي بروتوكول يستخدمه الأمر "ping"؟

AICMP
BTCP
CUDP
DHTTP

18.شبكات الحاسوبصعبة

لماذا لا يحتاج IPv6 إلى NAT بسبب نقص العناوين؟

Aلأن فضاء عناوينه البالغ 128 بتًا كبير بما يكفي لمنح كل جهاز عنوانًا عالميًا
Bلأن IPv6 يعمل على الشبكات المحلية فقط، فلا تحتاج العناوين إلى المشاركة عالميًا
Cلأن IPv6 يشفّر جميع العناوين
Dلأن IPv6 لا يستخدم العناوين

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1368 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1368 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.48.12.0/24, 10.48.13.0/24, 10.48.14.0/24, 10.48.15.0/24, 10.48.16.0/24, 10.48.17.0/24, 10.48.18.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.48.12.0/24 … 10.48.18.0/24

p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −21

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = −21

الإجابة

N = −21

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 2025 KiB

البتات والبايتات

1920·1080·8 = 16588800 bit = 2073600 B

حوّل إلى KiB

2073600/1024 = 2025 KiB

الإجابة

M = 2025 KiB

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ممكنة

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

جدول الصدق صفًا صفًا

p = 1, q = 1, r = 1: r → p = 1, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 1, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → p = 1, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 1, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r → p = 1, r → q = 0, (r → p) ∧ (r → q) = 0, p → q = 0, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r → p = 1, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 1, p → q = 0, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: r → p = 0, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 0, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r → p = 1, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 1, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r → p = 0, r → q = 0, (r → p) ∧ (r → q) = 0, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r → p = 1, r → q = 1, (r → p) ∧ (r → q) = 1, p → q = 1, ((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q) = 1

صنّف

((r → p) ∧ (r → q)) → (p → q): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

1 في 7 من الصفوف الـ 8، و0 في الباقي: ممكنة.

الإجابة

ممكنة

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

الإجابة

∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 4

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

AC → m(5, 7)

A′B → m(2, 3)

A′BC → m(3)

جمّع واقرأ

F = AC + A′B

عُدّ الحروف

L = 4

الإجابة

L = 4

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 5

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

BD, BC′, A′C′D, A′CD′, AC′D′, ACD, A′B

التغطية الدنيا

F = BD + A′C′D + A′CD′ + AC′D′ + ACD

N = 5

الإجابة

N = 5

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 41⁻¹ mod 59 = 36

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·41 (mod 59).

r = 59, t = 0

r = 41, q = 1, t = 1

r = 18, q = 2, t = −1

r = 5, q = 3, t = 3

r = 3, q = 1, t = −10

r = 2, q = 1, t = 13

r = 1, q = 2, t = −23

المعكوس

1 ≡ −23·41 (mod 59)

x = 36

تحقّق: 41·36 = 1476 = 25·59 + 1

الإجابة

41⁻¹ mod 59 = 36

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: c = 97

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

التربيع المتكرر

17 = 16 + 1

219¹ ≡ 219 (mod 589)

219² ≡ 252 (mod 589)

219⁴ ≡ 481 (mod 589)

B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

13.نظرية البيانات

الإجابة: L = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 19 = 2(L + 5) − 2

L = 11

الإجابة

L = 11

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 4, C: 11

2. B (4): C: 6, D: 15, G: 8

3. C (6): E: 14

4. G (8): D: 9, E: 11

5. D (9): F: 15

6. E (11)

يحتوي IPv6 على نحو 3,4 × 10³⁸ عنوان، فتزول الندرة التي دفعت إلى استخدام NAT في IPv4؛ ويظل الأمان مسؤولية جدران الحماية.

الإجابة

A · لأن فضاء عناوينه البالغ 128 بتًا كبير بما يكفي لمنح كل جهاز عنوانًا عالميًا

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1368

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1368 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 19

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

12 = 00001100

18 = 00010010

البتات الأولى المشتركة: 3

طول البادئة

p = 16 + 3 = 19

الإجابة

p = /19

المسار التلخيصي: 10.48.0.0/19 (وهو يغطّي أيضًا 25 شبكة (شبكات) ليست في القائمة).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals