أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −100 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −1008 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 640 × 480 بكسل و32 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

(a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b)

N =

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

المقدمات p ∨ r; ¬p ∨ q معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

p ∨ r¬p ∨ q

1r ∧ q
2p ∨ q
3r ∨ q
4¬r

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

لمضاعِف 4-إلى-1 مدخلا الاختيار S₁ = A و S₀ = B، ومداخل بياناته موصولة بـ I₀ = 0, I₁ = 0, I₂ = 0, I₃ = 1. في كم من تركيبات A و B و C الثماني يكون المخرج F = 1؟ جد N.

I₀ = 0I₁ = 0I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15) + d(7, 10)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15) + d(7, 10)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 4 (mod 5) و x ≡ 0 (mod 9).

x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 0 (mod 9)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

شفّر الرسالة m = 1494 بالمفتاح العام لـ RSA (n, e) = (1739, 17). جد النص المشفّر c.

n = 1739e = 17m = 1494

c =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

Aكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
Bكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
Cالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
Dمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

Aزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
Bزمن O(n) ومساحة O(n)
Cزمن O(n) ومساحة O(1)
Dزمن O(log n) ومساحة O(n)

11.هياكل البياناتمتوسطة

يزور الاجتياز الداخلي (in-order) لشجرة البحث الثنائية المفاتيح:

Aبترتيب تنازلي دائمًا
Bبترتيب الإدراج
Cبترتيب تصاعدي (مرتبة)
Dحسب المستويات

12.هياكل البياناتصعبة

تريد لكل عنصر في مصفوفة العنصر الأكبر التالي على يمينه، في زمن كلي O(n). أي بنية تساعد؟

Aجدول تجزئة لكل العناصر
Bمكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
Cطابور يحفظ كل زوج من العناصر
Dشجرة بحث ثنائية يُعاد بناؤها لكل عنصر

13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 34 × deg 2

L =

14.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس E. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3.

البداية: Ek = 3

1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DE
7الحافة EF
8الحافة BE

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا تفعل ROLLBACK TO SAVEPOINT s1؟

Aتتراجع عن التغييرات التي أُجريت بعد نقطة الحفظ s1، مع إبقاء المعاملة مفتوحة
Bتنهي المعاملة وتثبّت كل شيء
Cتحذف نقطة الحفظ وجميع الجداول التي تغيرت منذ ذلك الحين
Dتتراجع عن المعاملة كلها من البداية

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ماذا تشترط قاعدة التسجيل المسبق للسجل (write-ahead logging, WAL)؟

Aيجب كتابة صفحات البيانات قبل السجل
Bيجب أن يصل سجل التغيير إلى التخزين المستقر قبل أن تصل صفحة البيانات المتغيرة
Cلا يُكتب السجل إلا بعد التعطل
Dيجب تسجيل كل استعلام قبل تحليله

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما الغرض من المصافحة الثلاثية (three-way handshake) في TCP؟

Aإنشاء الاتصال ومزامنة أرقام التسلسل
Bإغلاق الاتصال بسرعة
Cالعثور على عنوان IP لمضيف قبل إمكانية إرسال البيانات إليه
Dتشفير البيانات

18.شبكات الحاسوبصعبة

في اتصال TCP، ما الذي تتحكم فيه نافذة الاستقبال (rwnd)؟

Aمقدار البيانات غير المؤكَّدة التي يجوز للمرسل إرسالها، بناءً على المخزن المؤقت لدى المستقبل
Bعدد المنافذ المفتوحة
Cحجم ترويسة كل حزمة IP
Dمهلة إعادة الإرسال، وتُحسب من زمن الذهاب والإياب المقيس لكل مقطع

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 4 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/244 subnets

H =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.35.210/29. ما الرقم الأخير (الثُمانية الرابعة) x من عنوان البث لشبكته الفرعية؟

10.20.35.210/29

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 156

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

100 = 0110 0100

مقلوب: 1001 1011

+1 → 1001 1100

اقرأه بلا إشارة

1001 1100₂ = 256 − 100 = 156

الإجابة

U = 156

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 1200 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B

حوّل إلى KiB

1228800/1024 = 1200 KiB

الإجابة

M = 1200 KiB

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 5

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: ¬a = 0, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 0, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬a = 0, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 0, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: ¬a = 0, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 0, c → b = 0, ¬(c → b) = 1, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: ¬a = 0, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 0, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: ¬a = 1, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 1, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: ¬a = 1, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 1, a → (¬a ∧ ¬c) = 1, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: ¬a = 1, ¬c = 0, ¬a ∧ ¬c = 0, a → (¬a ∧ ¬c) = 1, c → b = 0, ¬(c → b) = 1, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: ¬a = 1, ¬c = 1, ¬a ∧ ¬c = 1, a → (¬a ∧ ¬c) = 1, c → b = 1, ¬(c → b) = 0, (a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

(a → (¬a ∧ ¬c)) → ¬(c → b): 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0

N = 5

الإجابة

N = 5

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: r ∨ q

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

p = 1, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, p ∨ q = 1, r ∨ q = 1, ¬r = 0

p = 1, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, p ∨ q = 1, r ∨ q = 1, ¬r = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, p ∨ q = 1, r ∨ q = 1, ¬r = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, p ∨ q = 0, r ∨ q = 1, ¬r = 0

الخلاصة

r ∨ q (الدقة)

الإجابة

r ∨ q

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

المضاعِف (MUX): يمرّر المضاعِف 2ⁿ-إلى-1 أحد مداخل البيانات إلى المخرج؛ وخطوط الاختيار، مقروءة كعدد ثنائي، تحدد أيّها. لمضاعِف 4-إلى-1 مع الاختيارين S₁S₀ = AB، F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. وبوصل مداخل البيانات بـ 0 أو 1 أو C أو C′ ينتج المضاعِف أي دالة في A و B و C، وهي طريقة شائعة لبناء المنطق بشريحة واحدة.

تعبير الخرج

F = AB

الصفوف التي F = 1 فيها

ABC = 110, 111

N = 2

الإجابة

N = 2

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 3

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

CD, B, A′D, AC

التغطية الدنيا

F = CD + B + A′D

N = 3

الإجابة

N = 3

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 9

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

التطابق الأول

x = 4 + 5k

التطابق الثاني

4 + 5k ≡ 0 (mod 9) → 5k ≡ 5 (mod 9)

k ≡ 2·5 ≡ 1 (mod 9)

النتيجة

x = 4 + 5·1 = 9

x = 9

تحقّق: 9 mod 5 = 4, 9 mod 9 = 0

الإجابة

x = 9

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: c = 1546

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

التربيع المتكرر

17 = 16 + 1

1494¹ ≡ 1494 (mod 1739)

1494² ≡ 899 (mod 1739)

1494⁴ ≡ 1305 (mod 1739)

B · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها

13.نظرية البيانات

الإجابة: L = 4

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 14 = 2(L + 6) − 2

L = 4

الإجابة

L = 4

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة CE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. EF (9)

2. DE (11)

3. CE (14)

4. AC (8)

5. AB (13)

رقم الحافة 3

الإجابة

A · مقدار البيانات غير المؤكَّدة التي يجوز للمرسل إرسالها، بناءً على المخزن المؤقت لدى المستقبل

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 62

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

2² = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

المضيفون في كل شبكة فرعية

2⁶ − 2 = 62

الإجابة

H = 62

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 215

حجم الكتلة

2³ = 8

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊210/8⌋·8 = 208

البث: 208 + 8 − 1 = 215

المضيفون القابلون للاستخدام: 209 … 214

الإجابة

x = 215

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals