أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −26 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −268 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 1101 0100 << 3. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

1101 0100<< 3

R =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

(c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b))

N =

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل ((d ↔ b) → (a ∧ ¬d)) ∧ ((¬c ∧ b) ∨ (c → a)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

((d ↔ b) → (a ∧ ¬d)) ∧ ((¬c ∧ b) ∨ (c → a))

N =

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 6). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 6)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

قلّاب T يُحفَّز بالحافة الموجبة يبدأ بـ Q = 0 ويتلقى المداخل المعروضة عند 8 حافة ساعة صاعدة. كم مرة N يغيّر Q حالته؟

Q₀ = 0T

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 38 بالنسبة إلى 59: العدد x مع 0 < x < 59 و 38·x ≡ 1 (mod 59).

a = 38n = 59

38⁻¹ mod 59 =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

استخدم التربيع المتكرر لإيجاد 9¹⁹⁷ mod 14.

a = 9k = 197n = 14

9¹⁹⁷ mod 14 =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

حل العلاقة التكرارية T(n) = 2T(n/2) + O(n) هو:

AO(n)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n log n)

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة P صحيح؟

Aالمسائل التي تحتاج إلى زمن أسّي على كل حاسوب
Bالمسائل التي يمكن التحقق من حلولها لكن لا يمكن إيجادها أبدًا في زمن كثير حدود
Cمسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
Dالمسائل التي يمكن حلها على التوازي

11.هياكل البياناتمتوسطة

جدول تجزئة حجمه 7 يستخدم h(k) = k mod 7 والتقصّي الخطي (linear probing). بعد إدراج 10، أين يُخزَّن 17؟

Aالفهرس 0
Bالفهرس 6
Cالفهرس 3
Dالفهرس 4

12.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

Aدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
Bدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
Cدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
Dدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

13.نظرية البياناتمتوسطة

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7

1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك

14.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 3

1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DE
7الحافة BE

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا تُرجع EXCEPT (وتُسمى MINUS في Oracle)؟

Aصفوف الاستعلام الأول التي لا تظهر في الثاني
Bصفوف الاستعلام الثاني التي لا تظهر في الأول
Cالصفوف الموجودة في الاستعلامين
Dجميع الصفوف من الاستعلامين دون مكررات

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ينفّذ تطبيق UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7، ويبلّغ عن تعارض إذا لم يُحدَّث أي صف. ما هذه التقنية؟

Aالتسجيل المسبق للسجل
Bالتحكم المتفائل في التزامن
Cالقفل الصارم على مرحلتين مع أقفال على الصفوف
Dتجزئة قاعدة البيانات (sharding)

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لدى موجّه مساران للشبكتين 10.0.0.0/8 و10.1.0.0/16. أي مسار يستخدم لحزمة متجهة إلى 10.1.5.5؟

A10.1.0.0/16، لأنه أطول بادئة مطابقة
Bكلا المسارين، مع تقسيم الحركة بالتساوي
C10.0.0.0/8، لأنه يغطي عناوين أكثر من /16
D10.0.0.0/8، لأنه أُضيف أولًا

18.شبكات الحاسوبصعبة

يحدث حجب رأس الطابور (head-of-line blocking) في HTTP/2 عبر TCP لأن:

AHTTP/2 يستخدم UDP
Bفقدان مقطع TCP واحد يؤخر جميع التدفقات المتعددة حتى تتم إعادة إرساله
Cكل طلب يحتاج إلى اتصال TCP جديد خاص به، فتنتظر الطلبات اللاحقة في الطابور
Dالخوادم لا تستطيع معالجة الطلبات المتوازية

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

تُقسَّم الشبكة 10.86.192.0/20 إلى شبكات فرعية متساوية ببادئة /26. كم شبكة فرعية N توجد؟

10.86.192.0/20/26

N =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.252.227/30. ما الرقم الأخير (الثُمانية الرابعة) x من عنوان البث لشبكته الفرعية؟

10.20.252.227/30

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 230

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

26 = 0001 1010

مقلوب: 1110 0101

+1 → 1110 0110

اقرأه بلا إشارة

1110 0110₂ = 256 − 26 = 230

الإجابة

U = 230

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 160

بتًا ببت

الإزاحة إلى اليسار بمقدار 3 تنقل كل بت 3 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.

1101 0100 << 3

= 1010 0000

قيمة الناتج

1010 0000₂ = 160

الإجابة

R = 160

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 7

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: c ↔ b = 1, ¬c = 0, ¬b = 0, a ↔ ¬b = 0, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ↔ b = 0, ¬c = 1, ¬b = 0, a ↔ ¬b = 0, ¬c → (a ↔ ¬b) = 0, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ↔ b = 0, ¬c = 0, ¬b = 1, a ↔ ¬b = 1, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: c ↔ b = 1, ¬c = 1, ¬b = 1, a ↔ ¬b = 1, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: c ↔ b = 1, ¬c = 0, ¬b = 0, a ↔ ¬b = 1, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c ↔ b = 0, ¬c = 1, ¬b = 0, a ↔ ¬b = 1, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ↔ b = 0, ¬c = 0, ¬b = 1, a ↔ ¬b = 0, ¬c → (a ↔ ¬b) = 1, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c ↔ b = 1, ¬c = 1, ¬b = 1, a ↔ ¬b = 0, ¬c → (a ↔ ¬b) = 0, (c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

(c ↔ b) → (¬c → (a ↔ ¬b)): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0

N = 7

الإجابة

N = 7

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 8

الأعمدة

d ↔ b; ¬d; a ∧ ¬d; (d ↔ b) → (a ∧ ¬d); ¬c; ¬c ∧ b; c → a; (¬c ∧ b) ∨ (c → a); ((d ↔ b) → (a ∧ ¬d)) ∧ ((¬c ∧ b) ∨ (c → a))

قسّم على a

a = 1: 6

a = 0: 2

N = 6 + 2 = 8

الإجابة

N = 8

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(A′ + C′)

(A + B′ + C)

الصيغة الدنيا POS

F = (A′ + C′)(A + B′ + C)

N = 2

الإجابة

N = 2

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

Q بعد كل حافة

يتبدّل قلّاب T عند كل حافة صاعدة مع T = 1 ويحتفظ بقيمته مع T = 0.

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 1 → Q = 0

3: T = 0 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 0 → Q = 0

6: T = 1 → Q = 1

7: T = 1 → Q = 0

8: T = 0 → Q = 0

عُدّ التغيرات

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 4

الإجابة

N = 4

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 38⁻¹ mod 59 = 14

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·38 (mod 59).

r = 59, t = 0

r = 38, q = 1, t = 1

r = 21, q = 1, t = −1

r = 17, q = 1, t = 2

r = 4, q = 4, t = −3

r = 1, q = 4, t = 14

المعكوس

1 ≡ 14·38 (mod 59)

x = 14

تحقّق: 38·14 = 532 = 9·59 + 1

الإجابة

38⁻¹ mod 59 = 14

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 9¹⁹⁷ mod 14 = 11

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

الأس الثنائي

197 = 11000101₂ = 128 + 64 + 4 + 1

التربيع المتكرر

9¹ ≡ 9 (mod 14)

9² ≡ 11 (mod 14)

9⁴ ≡ 9 (mod 14)

9⁸ ≡ 11 (mod 14)

9¹⁶ ≡ 9 (mod 14)

D · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

13.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

A, B → 2

مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

14.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AC

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BE (1)

2. DE (5)

3. AC (6)

4. AB (15)

يسلّم TCP البايتات بالترتيب، لذا يؤدي فقد واحد إلى توقف كل تدفق على الاتصال. أما QUIC (HTTP/3) فيعالج التدفقات بشكل مستقل عبر UDP.

الإجابة

B · فقدان مقطع TCP واحد يؤخر جميع التدفقات المتعددة حتى تتم إعادة إرساله

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

البتات المستعارة

26 − 20 = 6

عدد الشبكات الفرعية

N = 2⁶ = 64

الإجابة

N = 64

لكل شبكة فرعية /26 عدد 2⁶ − 2 = 62 مضيفًا قابلًا للاستخدام.

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 227

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

حجم الكتلة

2² = 4

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊227/4⌋·4 = 224

البث: 224 + 4 − 1 = 227

المضيفون القابلون للاستخدام: 225 … 226

الإجابة

x = 227

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals