أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
المتمم الثنائي ذو 8 بتات?−128?64?32?16?8?4?2?1

اكتب −102 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟

N = −1028 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
32 bit1 px1920 px1080 pxM = ? KiB

صورة غير مضغوطة أبعادها 1920 × 1080 بكسل و32 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

1920 × 1080 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
¬¬p → ¬(q ∨ r)¬p → (q ∨ r)(q ∨ r) ∧ ¬¬p¬(q ∨ r) → ¬¬p

تريد إثبات (q ∨ r) → ¬p بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

(q ∨ r) → ¬p
  1. 1¬¬p → ¬(q ∨ r)
  2. 2¬p → (q ∨ r)
  3. 3(q ∨ r) ∧ ¬¬p
  4. 4¬(q ∨ r) → ¬¬p
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
b ∨ ca ∧ ca ∨ c¬a

المقدمات b ∨ a; ¬b ∨ c معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

b ∨ a¬b ∨ c
  1. 1b ∨ c
  2. 2a ∧ c
  3. 3a ∨ c
  4. 4¬a
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD00011110000111101111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(4, 11, 12, 13)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
ABCD00011110000111100001130204050716112113115014X8X9X11010

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 12, 13, 15) + d(8, 9, 11)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟

F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 12, 13, 15) + d(8, 9, 11)
L =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 10 بالنسبة إلى 13: العدد x مع 0 < x < 13 و 10·x ≡ 1 (mod 13).

a = 10n = 13
10−1 mod 13 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (629, 5)d = ?

يستخدم مفتاح RSA العددين الأوليين p = 17 و q = 37 والأس العام e = 5. جد الأس الخاص d (0 < d < φ(n)).

p = 17q = 37e = 5
d =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مصفوفة مرتبة تبحث عن عنصرين مجموعهما يساوي هدفًا بتحريك مؤشر من كل طرف نحو الداخل. ما التعقيد الزمني؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  2. Bلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  3. Cنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  4. Dنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
11.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. Ai/2 و i/2 + 1
  2. B2i + 1 و 2i + 2
  3. C2i و 2i + 1
  4. Di + 1 و i + 2
12.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

  1. AO(n)
  2. BO(log n) بالضبط
  3. CO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
  4. DO(n²)
13.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
14.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

أي استعلام يسرد العملاء الذين لم يقدّموا أي طلب قط؟

  1. ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL
  2. BSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
  3. CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
  4. DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ما الفهرس المغطّي (covering index) لاستعلام ما؟

  1. Aفهرس يغطي كل عمود في كل جدول
  2. Bفهرس على المفتاح الأساسي فقط
  3. Cفهرس يحتوي على جميع الأعمدة التي يحتاجها الاستعلام، فلا يلزم قراءة الجدول نفسه
  4. Dفهرس يُعاد بناؤه كل ليلة
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما الغرض الرئيسي من VLAN؟

  1. Aزيادة سرعة كل منفذ في المبدّل
  2. Bتشفير كل الحركة بين المبدّلات حتى لا تستطيع الأقسام الأخرى قراءتها
  3. Cتقسيم شبكة مبدّلات مادية واحدة إلى مجالات بث منفصلة
  4. Dمنح كل جهاز عنوان IP عامًا
18.شبكات الحاسوبصعبة

يحجب جدار حماية كل رسائل ICMP. تعمل طلبات الويب الصغيرة، لكن التنزيلات الكبيرة عبر بعض المسارات تتوقف. ما السبب المرجح؟

  1. Aيفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة
  2. Bلا يستطيع TCP فتح الاتصالات دون ICMP
  3. Cتُرسل شهادات TLS عبر ICMP
  4. Dيحتاج DNS إلى ICMP لتحليل الأسماء
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /3011111111111111111111111111111100بتات الشبكةبتات المضيف

تُقسَّم الشبكة 10.100.38.0/24 إلى شبكات فرعية متساوية ببادئة /30. كم شبكة فرعية N توجد؟

10.100.38.0/24/30
N =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة
الثُمانية الثالثة = 190112806413211618141201الشبكةالمضيف

عنوان مضيف هو 172.20.190.73/22. ما الثُمانية الثالثة x من عنوان شبكته؟

172.20.190.73/22
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 154

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اقلب وأضف واحدًا

102 = 0110 0110
مقلوب: 1001 1001
+1 → 1001 1010

اقرأه بلا إشارة

1001 1010₂ = 256 − 102 = 154

الإجابة

U = 154
2.أنظمة العد

الإجابة: M = 8100 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

1920·1080·32 = 66355200 bit = 8294400 B

حوّل إلى KiB

8294400/1024 = 8100 KiB

الإجابة

M = 8100 KiB
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬¬p → ¬(q ∨ r)

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = q ∨ r, b = ¬p

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬¬p → ¬(q ∨ r)

الإجابة

¬¬p → ¬(q ∨ r)

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: a ∨ c

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

a = 1, b = 1, c = 1: b ∨ c = 1, a ∧ c = 1, a ∨ c = 1, ¬a = 0
a = 1, b = 0, c = 1: b ∨ c = 1, a ∧ c = 1, a ∨ c = 1, ¬a = 0
a = 1, b = 0, c = 0: b ∨ c = 0, a ∧ c = 0, a ∨ c = 1, ¬a = 0
a = 0, b = 1, c = 1: b ∨ c = 1, a ∧ c = 0, a ∨ c = 1, ¬a = 1

الخلاصة

a ∨ c (الدقة)

الإجابة

a ∨ c
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 10, CD = 11

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m11: m10, m9, m15, m3 → 0
ABCD00011110000111101111

الـ 1 المعزول

m11 = AB′CD → AB = 10, CD = 11

الإجابة

AB = 10, CD = 11
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 11

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′CD, AD, AC′, A′BCD′
ABCD00011110000111100001130204050716112113115014X8X9X11010

التغطية الدنيا

F = B′CD + AD + AC′ + A′BCD′
L = 11

الإجابة

L = 11
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 10−1 mod 13 = 4

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·10 (mod 13).

r = 13, t = 0
r = 10, q = 1, t = 1
r = 3, q = 3, t = −1
r = 1, q = 3, t = 4

المعكوس

1 ≡ 4·10 (mod 13)
x = 4
تحقّق: 10·4 = 40 = 3·13 + 1

الإجابة

10−1 mod 13 = 4
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: d = 461

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

المقياس ودالة أويلر

n = 17·37 = 629
φ(n) = 16·36 = 576

خوارزمية إقليدس الموسّعة

r = 576, t = 0
r = 5, q = 115, t = 1
r = 1, q = 5, t = −115

الأس الخاص

d = 461
تحقّق: 5·461 = 2305 = 4·576 + 1

الإجابة

d = 461
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان المجموع صغيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيسر يمينًا، وإذا كان كبيرًا جدًا يتحرك المؤشر الأيمن يسارًا، فيكون هناك n خطوة على الأكثر.

الإجابة

C · O(n)
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

A · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
11.هياكل البيانات

الإجابة: B · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

B · 2i + 1 و 2i + 2
12.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع كلا التحسينين تستغرق العمليات زمنًا مستهلكًا قدره O(α(n))، وα(n) ≤ 4 لأي قيمة واقعية لـ n.

الإجابة

C · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
13.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

B, C, D, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
14.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

خطوة إضافية

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 = 2

الإجابة

N = 2
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL

لماذا هذه هي الإجابة

يُبقي الربط الأيسر جميع العملاء ويملأ أعمدة الطلبات بـ NULL عند عدم وجود تطابق؛ ثم تختار IS NULL هؤلاء العملاء بالضبط.

الإجابة

D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: C · فهرس يحتوي على جميع الأعمدة التي يحتاجها الاستعلام، فلا يلزم قراءة الجدول نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كانت جميع الأعمدة المشار إليها في الفهرس، يستطيع النظام إجراء مسح للفهرس فقط ويتخطى جلب صفوف الجدول، مما يوفر عمليات الإدخال والإخراج.

الإجابة

C · فهرس يحتوي على جميع الأعمدة التي يحتاجها الاستعلام، فلا يلزم قراءة الجدول نفسه
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: C · تقسيم شبكة مبدّلات مادية واحدة إلى مجالات بث منفصلة

لماذا هذه هي الإجابة

تجمّع شبكات VLAN المنافذ منطقيًا، فتبقى رسائل البث داخل كل VLAN. وهذا يحسّن الأمان ويحدّ من حركة البث.

الإجابة

C · تقسيم شبكة مبدّلات مادية واحدة إلى مجالات بث منفصلة
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: A · يفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة

لماذا هذه هي الإجابة

يعتمد PMTUD على رسائل ICMP لمعرفة قيمة MTU الأصغر. فإذا أُسقطت تختفي الحزم الكبيرة بصمت، فينشأ اتصال "ثقب أسود".

الإجابة

A · يفشل اكتشاف MTU للمسار لأن رسائل "fragmentation needed" محجوبة
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

البتات المستعارة

30 − 24 = 6

عدد الشبكات الفرعية

N = 26 = 64

الإجابة

N = 64

لكل شبكة فرعية /30 عدد 22 − 2 = 2 مضيفًا قابلًا للاستخدام.

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 188

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

حجم الكتلة في الثُمانية الثالثة

22 = 4

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: 172.20.188.0
البث: 172.20.191.255

الإجابة

x = 188

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals