أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اكتب −64 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟

N = −648 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

يجب أن يعطي نظام كل واحد من 2822 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟

2822

b = bit

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

أي صيغة تكافئ ¬(b ∨ a) منطقيًا؟ انقر عليها.

¬(b ∨ a)

1¬b ∨ ¬a
2b ∨ ¬a
3¬b ∧ ¬a
4¬b ∧ a

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

المقدمات b ∨ c; ¬b ∨ a معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

b ∨ c¬b ∨ a

1c ∧ a
2¬c
3c ∨ a
4b ∨ a

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 1, 4, 6). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 4, 6)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 7, 11, 15) + d(8, 9, 10)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 7, 11, 15) + d(8, 9, 10)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 34 بالنسبة إلى 37: العدد x مع 0 < x < 37 و 34·x ≡ 1 (mod 37).

a = 34n = 37

34⁻¹ mod 37 =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

79 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 26⁹⁴⁸¹⁶ mod 79.

p = 79k = 94816

26⁹⁴⁸¹⁶ mod 79 =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

Aحلقة واحدة
Bمدخلات عشوائية فقط
Cلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
Dمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تكون المسألة NP-كاملة (NP-complete) إذا كانت:

Aمستحيلة الحل
Bقابلة للحل في زمن كثير الحدود
Cخارج NP لكنها أصعب من جميع مسائل NP، مثل مسألة التوقف
Dتنتمي إلى NP وكل مسألة في NP قابلة للاختزال إليها في زمن كثير الحدود

11.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

Aاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
Bاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
Cزُر كل ورقة وقارن بينها
Dانظر إلى الجذر فقط

12.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

AO(log n) بالضبط
BO(n)
CO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
DO(n²)

13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 9 رؤوس و14 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 9|E| = 14

k =

14.نظرية البياناتصعبة

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F

d(F) =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا تفعل GRANT SELECT ON employees TO alice؟

Aتجعل alice مالكة قاعدة البيانات
Bتنسخ جدول employees إلى alice
Cتسمح للمستخدم alice بقراءة جدول employees
Dتسمح لـ alice بتحديث صفوف جدول employees وحذفها

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

أي مستوى عزل يمنع القراءات القذرة (dirty reads) لكنه لا يزال يسمح بالقراءات غير القابلة للتكرار (non-repeatable reads)؟

ARead committed
BRepeatable read
CSerializable
DRead uncommitted

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

فيمَ يُستخدم فحص التكرار الدوري (CRC) في إطارات Ethernet؟

Aكشف أخطاء الإرسال
Bتصحيح كل خطأ في البتات تلقائيًا
Cاختيار أفضل مسار
Dتشفير الإطار

18.شبكات الحاسوبصعبة

في اتصال TCP، ما الذي تتحكم فيه نافذة الاستقبال (rwnd)؟

Aحجم ترويسة كل حزمة IP
Bمقدار البيانات غير المؤكَّدة التي يجوز للمرسل إرسالها، بناءً على المخزن المؤقت لدى المستقبل
Cعدد المنافذ المفتوحة
Dمهلة إعادة الإرسال، وتُحسب من زمن الذهاب والإياب المقيس لكل مقطع

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1794 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1794 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 172.20.209.55/22. ما الثُمانية الثالثة x من عنوان البث لشبكته الفرعية؟

172.20.209.55/22

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 192

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اقلب وأضف واحدًا

64 = 0100 0000

مقلوب: 1011 1111

+1 → 1100 0000

اقرأه بلا إشارة

1100 0000₂ = 256 − 64 = 192

الإجابة

U = 192

2.أنظمة العد

الإجابة: b = 12 bit

قوى العدد 2

2¹¹ = 2048 < 2822

2¹² = 4096 ≥ 2822

الإجابة

b = 12

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬b ∧ ¬a

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

دي مورغان: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. تتحول ∨ إلى ∧ ويُنفى الجزآن.

¬(b ∨ a) ≡ ¬b ∧ ¬a

تحقق بجدول الصدق

a = 1, b = 1: 0 | 0 1 0 0

a = 1, b = 0: 0 | 1 0 0 1

a = 0, b = 1: 0 | 1 1 0 0

a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 0

الإجابة

¬b ∧ ¬a

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: c ∨ a

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

a = 1, b = 1, c = 1: c ∧ a = 1, ¬c = 0, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ∧ a = 0, ¬c = 1, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ∧ a = 1, ¬c = 0, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ∧ a = 0, ¬c = 0, c ∨ a = 1, b ∨ a = 0

الخلاصة

c ∨ a (الدقة)

الإجابة

c ∨ a

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(A′ + C′)

(A + B′)

الصيغة الدنيا POS

F = (A′ + C′)(A + B′)

N = 2

الإجابة

N = 2

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′C′, BCD, A′C′D, ACD, AB′, A′BD, A′BC

المضمّنات الأولية الجوهرية

B′C′, A′BC

N = 2

الإجابة

N = 2

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 34⁻¹ mod 37 = 12

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·34 (mod 37).

r = 37, t = 0

r = 34, q = 1, t = 1

r = 3, q = 11, t = −1

r = 1, q = 3, t = 12

المعكوس

1 ≡ 12·34 (mod 37)

x = 12

تحقّق: 34·12 = 408 = 11·37 + 1

الإجابة

34⁻¹ mod 37 = 12

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 26⁹⁴⁸¹⁶ mod 79 = 19

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

C · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

13.نظرية البيانات

الإجابة: k = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

9 − 1 = 8

الحواف المراد حذفها

k = 14 − 8 = 6

الإجابة

k = 6

14.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 18

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 15

B (7): G: 13

G (13): D: 14, E: 19

D (14): E: 17, F: 18

C (15)

E (17)

F (18)

أقصر مسار

A → B → G → D → F

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1794

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1794 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 211

حجم الكتلة في الثُمانية الثالثة

2² = 4

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: 172.20.208.0

البث: 172.20.211.255

الإجابة

x = 211

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals