أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
المتمم الثنائي ذو 8 بتات?−128?64?32?16?8?4?2?1

اكتب −108 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟

N = −1088 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
16 bit1 px800 px600 pxM = ? KiB

صورة غير مضغوطة أبعادها 800 × 600 بكسل و16 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

800 × 600 px16 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
abc¬(¬c → b)a ∧ ¬(¬c → b)((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b))111?110?101?100?011?010?001?000?

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b))
N =
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
∀x (F(x) → ¬G(x))∀x (F(x) ∧ ¬G(x))∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

أي عبارة تكافئ ¬∃x (F(x) ∧ G(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∃x (F(x) ∧ G(x))
  1. 1∀x (F(x) → ¬G(x))
  2. 2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
  3. 3∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
  4. 4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD00011110000111101111111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(1, 4, 5, 6, 7, 8, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
CLKJK1234567

قلّاب JK يُحفَّز بالحافة الموجبة يبدأ بـ Q = 0 ويتلقى المداخل المعروضة. انقر على أول حافة ساعة ينتقل عندها Q من 1 عائدًا إلى 0.

Q₀ = 0JK
  1. 1حافة الساعة 1
  2. 2حافة الساعة 2
  3. 3حافة الساعة 3
  4. 4حافة الساعة 4
  5. 5حافة الساعة 5
  6. 6حافة الساعة 6
  7. 7حافة الساعة 7
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 46 بالنسبة إلى 79: العدد x مع 0 < x < 79 و 46·x ≡ 1 (mod 79).

a = 46n = 79
46−1 mod 79 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
mc = me​ mod n12m = cd​ mod n?(n, e) = (611, 19)d

يستخدم مفتاح RSA القيم p = 13 و q = 47 و e = 19. فكّ تشفير النص المشفّر c = 12: جد الرسالة m.

p = 13q = 47e = 19c = 12
m =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الحد الأدنى للفرز القائم على المقارنة في أسوأ الحالات هو:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(log n)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة صحيحة عن اختيار العنصر الأصغر رقم k في مصفوفة غير مرتبة؟

  1. Aالاختيار ممكن فقط في O(n²)
  2. Bيحتاج الاختيار دائمًا إلى Ω(n log n) لأنه يتطلب الفرز
  3. Cيعمل Quickselect في O(log n) في أسوأ الحالات لأنه يعود على جانب واحد فقط من المحور
  4. Dيعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
11.هياكل البياناتمتوسطة

ما ارتفاع شجرة البحث الثنائية ذات n عقدة في أسوأ الحالات إذا أُدرجت المفاتيح بترتيب تصاعدي؟

  1. An (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. D1
12.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
  4. Dدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
13.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
14.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

أي استعلام يسرد العملاء الذين لم يقدّموا أي طلب قط؟

  1. ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL
  2. BSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
  3. CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
  4. DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ما العيب المعروف لتفكيك الجداول إلى BCNF مقارنة بـ 3NF؟

  1. Aلا يمكن أن يكون لجداول BCNF مفاتيح أساسية
  2. Bتسمح BCNF بتكرار أكثر من 3NF
  3. Cيفقد التفكيك البيانات دائمًا عند إعادة الربط
  4. Dقد لا يعود ممكنًا التحقق من بعض الاعتماديات الدالية داخل جدول واحد
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

باستخدام التكافؤ الزوجي، ما بت التكافؤ الذي يُضاف إلى بتات البيانات 1011001؟

  1. A2
  2. B0
  3. C4
  4. D1
18.شبكات الحاسوبصعبة

لماذا أُدخل خيار تحجيم النافذة (window scale) في TCP؟

  1. Aلأن حقل النافذة ذا الـ 16 بتًا يحدّ النافذة بـ 65,535 بايت، وهو صغير جدًا للمسارات السريعة الطويلة
  2. Bلأن UDP احتاج إلى طريقة للتحكم في معدل إرساله على المسارات المزدحمة
  3. Cلأن حقل النافذة ذا الـ 32 بتًا كان كبيرًا جدًا ويهدر مساحة الترويسة في كل مقطع TCP يُرسل
  4. Dلأن TCP لم يكن ليكشف المقاطع المفقودة على الوصلات الطويلة بدونه
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /2811111111111111111111111111110000بتات الشبكةبتات المضيف

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 12 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/2412 subnets
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

تُقسَّم الشبكة 192.168.137.0/24 بتقنية VLSM لهذه الشبكات المحلية: A: 67 مضيفون, B: 34 مضيفون, C: 5 مضيفون, D: 9 مضيفون. تُخصَّص الشبكات الفرعية من .0 صعودًا، بدءًا بالشبكة المحلية ذات أكبر عدد من المضيفين، لكلٍّ منها أصغر شبكة فرعية تكفيها. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكة LAN D؟

A: 67B: 34C: 5D: 9
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 148

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اقلب وأضف واحدًا

108 = 0110 1100
مقلوب: 1001 0011
+1 → 1001 0100

اقرأه بلا إشارة

1001 0100₂ = 256 − 108 = 148

الإجابة

U = 148
2.أنظمة العد

الإجابة: M = 937,5 KiB

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

البتات والبايتات

800·600·16 = 7680000 bit = 960000 B

حوّل إلى KiB

960000/1024 = 937,5 KiB

الإجابة

M = 937,5 KiB
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 4

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: ¬b = 0, ¬c = 0, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 0, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 0, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 0
a = 1, b = 1, c = 0: ¬b = 0, ¬c = 1, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 0, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 0, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 0
a = 1, b = 0, c = 1: ¬b = 1, ¬c = 0, ¬b → ¬c = 0, ¬a = 0, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 0, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 0
a = 1, b = 0, c = 0: ¬b = 1, ¬c = 1, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 0, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 0, ¬c → b = 0, ¬(¬c → b) = 1, a ∧ ¬(¬c → b) = 1, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 1
a = 0, b = 1, c = 1: ¬b = 0, ¬c = 0, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 1, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 1, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 1
a = 0, b = 1, c = 0: ¬b = 0, ¬c = 1, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 1, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 1, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 1
a = 0, b = 0, c = 1: ¬b = 1, ¬c = 0, ¬b → ¬c = 0, ¬a = 1, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 0, ¬c → b = 1, ¬(¬c → b) = 0, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 0
a = 0, b = 0, c = 0: ¬b = 1, ¬c = 1, ¬b → ¬c = 1, ¬a = 1, (¬b → ¬c) ∧ ¬a = 1, ¬c → b = 0, ¬(¬c → b) = 1, a ∧ ¬(¬c → b) = 0, ((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)) = 1

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

((¬b → ¬c) ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬(¬c → b)): 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1
N = 4

الإجابة

N = 4
4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∀x (F(x) → ¬G(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∃x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x (F(x) → ¬G(x))

الإجابة

∀x (F(x) → ¬G(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 10, CD = 00

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m8: m9, m10, m12, m0 → 0
ABCD00011110000111101111111

الـ 1 المعزول

m8 = AB′C′D′ → AB = 10, CD = 00

الإجابة

AB = 10, CD = 00
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: حافة الساعة 5

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

Q بعد كل حافة

قلّاب JK: 00 يحتفظ، 01 يصفّر (Q = 0)، 10 يضبط (Q = 1)، 11 يتبدّل.

1: J = 0, K = 1 → Q = 0
2: J = 0, K = 0 → Q = 0
3: J = 0, K = 0 → Q = 0
4: J = 1, K = 1 → Q = 1
5: J = 1, K = 1 → Q = 0
6: J = 0, K = 1 → Q = 0
7: J = 0, K = 0 → Q = 0

أول تغير من 1 إلى 0

حافة الساعة 5

الإجابة

حافة الساعة 5
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 46−1 mod 79 = 67

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·46 (mod 79).

r = 79, t = 0
r = 46, q = 1, t = 1
r = 33, q = 1, t = −1
r = 13, q = 2, t = 2
r = 7, q = 1, t = −5
r = 6, q = 1, t = 7
r = 1, q = 6, t = −12

المعكوس

1 ≡ −12·46 (mod 79)
x = 67
تحقّق: 46·67 = 3082 = 39·79 + 1

الإجابة

46−1 mod 79 = 67
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: m = 571

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

الأس الخاص

n = 611, φ(n) = 552
d = 19−1 mod 552 = 523

فك التشفير بالتربيع المتكرر

523 = 512 + 8 + 2 + 1
121 ≡ 12 (mod 611)
122 ≡ 144 (mod 611)
124 ≡ 573 (mod 611)
128 ≡ 222 (mod 611)
1216 ≡ 404 (mod 611)
1232 ≡ 79 (mod 611)
1264 ≡ 131 (mod 611)
12128 ≡ 53 (mod 611)
12256 ≡ 365 (mod 611)
12512 ≡ 27 (mod 611)
12523 ≡ 12·144·222·27 ≡ 571 (mod 611)

الرسالة

m = 571
تحقّق: 57119 mod 611 = 12

الإجابة

m = 571
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Ω(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج أي فرز بالمقارنة في أسوأ الحالات إلى log₂(n!) ≈ n log n مقارنة على الأقل. ويتخطى الفرز بالعدّ (Counting sort) هذا الحد لأنه لا يقارن.

الإجابة

A · Ω(n log n)
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

العمل المتوقع لـ Quickselect هو n + n/2 + n/4 + ... = O(n) مع محاور عشوائية، واختيار المحور وسيطًا للوسائط يجعل أسوأ الحالات خطيًا.

الإجابة

D · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
11.هياكل البيانات

الإجابة: A · n (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)

لماذا هذه هي الإجابة

يُنتج الإدراج المرتب شجرة منحلّة ارتفاعها n، فيصبح البحث O(n). الأشجار المتوازنة تمنع ذلك.

الإجابة

A · n (تصبح الشجرة قائمة مترابطة)
12.هياكل البيانات

الإجابة: B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

B · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
13.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

الرؤوس الفردية

A, C, F, G → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
14.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

الجيران المشتركون

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

الإجابة

N = 2
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL

لماذا هذه هي الإجابة

يُبقي الربط الأيسر جميع العملاء ويملأ أعمدة الطلبات بـ NULL عند عدم وجود تطابق؛ ثم تختار IS NULL هؤلاء العملاء بالضبط.

الإجابة

D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: D · قد لا يعود ممكنًا التحقق من بعض الاعتماديات الدالية داخل جدول واحد

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد دائمًا تفكيك BCNF غير فاقد، لكنه قد لا يحفظ الاعتماديات؛ أما 3NF فيمكن دائمًا أن تكون غير فاقدة وحافظة للاعتماديات معًا.

الإجابة

D · قد لا يعود ممكنًا التحقق من بعض الاعتماديات الدالية داخل جدول واحد
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: B · 0

لماذا هذه هي الإجابة

تحتوي 1011001 على أربعة بتات قيمتها 1، وهو عدد زوجي أصلًا، فيكون بت التكافؤ 0. ومع التكافؤ الفردي يكون 1.

الإجابة

B · 0
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: A · لأن حقل النافذة ذا الـ 16 بتًا يحدّ النافذة بـ 65,535 بايت، وهو صغير جدًا للمسارات السريعة الطويلة

لماذا هذه هي الإجابة

تسمح الترويسة الأصلية بـ 65,535 بايت على الأكثر من البيانات غير المؤكَّدة. ويضرب تحجيم النافذة هذه القيمة في قوة للعدد 2 كي يمكن ملء المسارات ذات حاصل الضرب المرتفع.

الإجابة

A · لأن حقل النافذة ذا الـ 16 بتًا يحدّ النافذة بـ 65,535 بايت، وهو صغير جدًا للمسارات السريعة الطويلة
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 14

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

24 = 16 ≥ 12 → b = 4, /28

المضيفون في كل شبكة فرعية

24 − 2 = 14

الإجابة

H = 14
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 192

VLSM: تحصل كل شبكة محلية على أصغر شبكة فرعية تحقّق 2ʰ − 2 ≥ عدد مضيفيها، أي البادئة 32 − h. تخصيص الشبكات الفرعية الأكبر أولًا يُبقي كل كتلة محاذية لمضاعف حجمها، لذا تُستنتج عناوين الشبكات بجمع أحجام الكتل.

حجم الكتلة لكل شبكة محلية

A: 67 مضيفون → 27 = 128 (/25)
B: 34 مضيفون → 26 = 64 (/26)
D: 9 مضيفون → 24 = 16 (/28)
C: 5 مضيفون → 23 = 8 (/29)

التخصيص، الأكبر أولًا

A: .0 – .127
B: .128 – .191
D: .192 – .207
C: .208 – .215

الإجابة

x = 192

LAN D: 192.168.137.192/28.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals