أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1101 1110 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1101 11108 bit

N =

2.أنظمة العدصعبة

يجب أن يعطي نظام كل واحد من 2884 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟

2884

b = bit

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

هل ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) حشو أم تناقض أم ممكنة؟ انقر على إجابتك.

((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r)

1حشو
2تناقض
3ممكنة

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∀x ∃y R(x, y) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

لمضاعِف 4-إلى-1 مدخلا الاختيار S₁ = A و S₀ = B، ومداخل بياناته موصولة بـ I₀ = 0, I₁ = C′, I₂ = 0, I₃ = C. في كم من تركيبات A و B و C الثماني يكون المخرج F = 1؟ جد N.

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = 0I₃ = C

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 14, 15) + d(6, 13)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 14, 15) + d(6, 13)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 44 بالنسبة إلى 73: العدد x مع 0 < x < 73 و 44·x ≡ 1 (mod 73).

a = 44n = 73

44⁻¹ mod 73 =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

53 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 22⁸²⁰⁶⁹ mod 53.

p = 53k = 82069

22⁸²⁰⁶⁹ mod 53 =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

التعقيد الزمني لحساب فيبوناتشي العودي الساذج (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) هو:

Aخطي
Bأسّي
Cثابت
Dلوغاريتمي

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) نفّذ عملًا O(1)؟

AO(n²)
BO(n √n)
CO(n)
DO(n log n)

11.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز القبلي؟

A4 5 2 3 1
B4 2 5 1 3
C1 2 3 4 5
D1 2 4 5 3

12.هياكل البياناتصعبة

لماذا تستخدم قواعد البيانات غالبًا أشجار B+ بدلًا من أشجار B العادية للفهارس؟

Aلأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا
Bلأن أشجار B+ تستخدم عقدًا داخلية ثنائية، ما يقلل عدد قراءات القرص
Cلأن أشجار B+ لا تحتاج إلى التوازن
Dلأن أشجار B+ لا تخزّن البيانات إلا في الجذر

13.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K₅؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K₅

H =

14.نظرية البياناتصعبة

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8

W =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

في جدول orders خمسة صفوف، يشير كل منها إلى عميل موجود، وفي جدول customers ثلاثة صفوف. كم صفًا يُرجع INNER JOIN على customer_id؟

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

تقرأ معاملتان كلتاهما stock = 10، وتطرح كل منهما 1 وتكتب النتيجة، فتكون 9 بدلًا من 8. أي شذوذ هذا؟

Aشذوذ الحذف
Bالقراءة الشبحية
Cالتحديث المفقود
Dالقراءة القذرة

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

بروتوكول HTTP عديم الحالة. كيف تُبقي المواقع عادةً المستخدم مسجّل الدخول عبر الطلبات؟

Aبمنح كل مستخدم عنوان IP ثابتًا
Bبتخزين كلمة المرور في عنوان URL
Cبملفات تعريف الارتباط (cookies) التي تحمل معرّف جلسة أو رمزًا مميزًا (token)
Dبإبقاء اتصال TCP مفتوحًا لأيام

18.شبكات الحاسوبصعبة

كيف تختلف التجزئة (fragmentation) في IPv6 عنها في IPv4؟

Aيجزّئ IPv6 في طبقة النقل داخل TCP
Bتجزّئ موجّهات IPv6 كل حزمة أكبر من 64 بايت قبل تمريرها على المسار
Cلا يسمح IPv6 بحزم أكبر من 576 بايت
Dلا تجزّئ الموجّهات حزم IPv6 أبدًا؛ ولا يجزّئها إلا المصدر باستخدام اكتشاف MTU للمسار

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1127 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1127 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.143.164.0/24, 10.143.165.0/24, 10.143.166.0/24, 10.143.167.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.143.164.0/24 … 10.143.167.0/24

p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −34

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = −34

الإجابة

N = −34

2.أنظمة العد

الإجابة: b = 12 bit

قوى العدد 2

2¹¹ = 2048 < 2884

2¹² = 4096 ≥ 2884

الإجابة

b = 12

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ممكنة

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

جدول الصدق صفًا صفًا

p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q → p = 1, q → r = 0, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 0, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 0, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, q → r = 0, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1

صنّف

((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

1 في 7 من الصفوف الـ 8، و0 في الباقي: ممكنة.

الإجابة

ممكنة

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x ∀y ¬R(x, y)

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

الإجابة

∃x ∀y ¬R(x, y)

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

المضاعِف (MUX): يمرّر المضاعِف 2ⁿ-إلى-1 أحد مداخل البيانات إلى المخرج؛ وخطوط الاختيار، مقروءة كعدد ثنائي، تحدد أيّها. لمضاعِف 4-إلى-1 مع الاختيارين S₁S₀ = AB، F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. وبوصل مداخل البيانات بـ 0 أو 1 أو C أو C′ ينتج المضاعِف أي دالة في A و B و C، وهي طريقة شائعة لبناء المنطق بشريحة واحدة.

تعبير الخرج

F = A′BC′ + ABC

الصفوف التي F = 1 فيها

ABC = 010, 111

N = 2

الإجابة

N = 2

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

CD, BC, AD, A′C, AB, A′B′D′

التغطية الدنيا

F = CD + AD + AB + A′B′D′

N = 4

الإجابة

N = 4

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 44⁻¹ mod 73 = 5

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·44 (mod 73).

r = 73, t = 0

r = 44, q = 1, t = 1

r = 29, q = 1, t = −1

r = 15, q = 1, t = 2

r = 14, q = 1, t = −3

r = 1, q = 14, t = 5

المعكوس

1 ≡ 5·44 (mod 73)

x = 5

تحقّق: 44·5 = 220 = 3·73 + 1

الإجابة

44⁻¹ mod 73 = 5

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 22⁸²⁰⁶⁹ mod 53 = 23

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

A · لأن كل السجلات في أوراق مترابطة، ما يجعل مسح المدى فعالًا

13.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12

14.نظرية البيانات

الإجابة: W = 43

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

DF (1): خذ

BE (2): خذ

EF (6): خذ

DE (9): تخطَّ، تُغلق دورة

D · لا تجزّئ الموجّهات حزم IPv6 أبدًا؛ ولا يجزّئها إلا المصدر باستخدام اكتشاف MTU للمسار

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1127

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1127 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 22

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

164 = 10100100

167 = 10100111

البتات الأولى المشتركة: 6

طول البادئة

p = 16 + 6 = 22

الإجابة

p = /22

المسار التلخيصي: 10.143.164.0/22

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals