هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مقارنة تقريبًا يحتاجها البحث الثنائي في أسوأ الحالات على مصفوفة مرتبة من 1,000,000 عنصر؟

  1. Aنحو 20
  2. Bنحو 1,000
  3. Cنحو 100
  4. Dنحو 500,000
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا أثبتت مبرهنة Cook–Levin؟

  1. Aأن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
  2. Bأن مسألة التوقف غير قابلة للحسم
  3. Cأن P لا تساوي NP
  4. Dأن كل مسألة NP يمكن حلها في زمن أسّي
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  2. Bانظر إلى الجذر فقط
  3. Cاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  4. Dزُر كل ورقة وقارن بينها
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  2. Bلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
  3. Cلإبقاء المصفوفة مرتبة
  4. Dلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 15 رؤوس و16 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 15|E| = 16
k =
6.نظرية البياناتصعبة
41033101110315ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · نحو 20

لماذا هذه هي الإجابة

220 ≈ 1,048,576، فبعد نحو 20 تنصيفًا لا يبقى إلا عنصر واحد.

الإجابة

A · نحو 20
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة

لماذا هذه هي الإجابة

بيّن كوك وليفين كلٌّ على حدة أن كل مسألة في NP تُختزل إلى SAT في زمن كثير حدود، فكانت SAT أول مسألة NP-تامة معروفة.

الإجابة

A · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

C · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

B · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 2

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

15 − 1 = 14

الحواف المراد حذفها

k = 16 − 14 = 2

الإجابة

k = 2
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 17

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 4, C: 10
B (4): C: 7, D: 7, E: 19
C (7): E: 17
D (7): F: 17
E (17)
F (17)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 17

الإجابة

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms