هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  2. Bتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  4. Dتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا أثبتت مبرهنة Cook–Levin؟

  1. Aأن مسألة التوقف غير قابلة للحسم
  2. Bأن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
  3. Cأن P لا تساوي NP
  4. Dأن كل مسألة NP يمكن حلها في زمن أسّي
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A24
  2. B10
  3. C11
  4. D14
4.هياكل البياناتصعبة

ماذا تفعل شجرة splay بعد كل وصول؟

  1. Aتعيد بناء الشجرة كلها بشكل متوازن
  2. Bتدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
  3. Cتعيد تلوين العقد على مسار البحث
  4. Dتنقل العقدة التي وُصل إليها إلى ورقة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 10 رؤوس و14 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 10|E| = 14
k =
6.نظرية البياناتصعبة
9153554131ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة

لماذا هذه هي الإجابة

بيّن كوك وليفين كلٌّ على حدة أن كل مسألة في NP تُختزل إلى SAT في زمن كثير حدود، فكانت SAT أول مسألة NP-تامة معروفة.

الإجابة

B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

D · 14
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر

لماذا هذه هي الإجابة

ينقل الـ splaying العقدة التي وُصل إليها إلى الجذر عبر دورانات، وقد تكلف عملية واحدة O(n)، لكن الكلفة المستهلَكة O(log n).

الإجابة

B · تدير العقدة التي وُصل إليها صعودًا إلى الجذر
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

10 − 1 = 9

الحواف المراد حذفها

k = 14 − 9 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 9, C: 15
2. B (9): C: 12, D: 14, E: 10
3. E (10): F: 23
4. C (12)
5. D (14)
6. F (23)

الجولة 5

D

الإجابة

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms