هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
  2. Bحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
  3. Cالنوعان كلاهما
  4. Dلا هذا ولا ذاك
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما كلفة إدراج عنصر في منتصف مصفوفة من n عنصر؟

  1. AO(1)، لأن الفهرس معروف
  2. BO(log n)، بسبب البحث الثنائي
  3. CO(n²)، لأن كل عنصر يتحرك n مرة
  4. DO(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح
4.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

  1. Aللأعداد فقط
  2. Bبإجابات دقيقة دائمًا
  3. Cمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
  4. Dمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
412212248ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح

لماذا هذه هي الإجابة

كل العناصر بعد نقطة الإدراج تتحرك موضعًا واحدًا إلى اليمين، وهذا يستغرق وقتًا متناسبًا مع n.

الإجابة

D · O(n)، لأن العناصر اللاحقة يجب أن تُزاح
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان أي بت خاص بالعنصر يساوي 0 فهو غير موجود قطعًا، وإذا كانت جميعها 1 فهو موجود على الأرجح. تقايض مرشّحات بلوم الدقة مقابل ذاكرة ضئيلة جدًا.

الإجابة

D · مع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: C

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 4, C: 12
2. B (4): C: 6, D: 5, E: 12
3. D (5): F: 7
4. C (6): E: 8
5. F (7)
6. E (8)

الجولة 4

C

الإجابة

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms