هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا تحسب خوارزمية Floyd–Warshall، وبأي سرعة؟

  1. Aشجرة امتداد صغرى في O(E log V)
  2. Bترتيبًا طوبولوجيًا في O(V²)
  3. Cأقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
  4. Dأقصر المسارات من رأس مصدر واحد إلى سائر الرؤوس في O(V + E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا أثبتت مبرهنة Cook–Levin؟

  1. Aأن مسألة التوقف غير قابلة للحسم
  2. Bأن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
  3. Cأن كل مسألة NP يمكن حلها في زمن أسّي
  4. Dأن P لا تساوي NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، ما أقصى معامل تحميل ممكن؟

  1. A1
  2. B0,5
  3. Cلا يوجد حد أقصى
  4. D2
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا لا يمكن ببساطة حذف العناصر من مرشح Bloom قياسي بمسح بتاتها؟

  1. Aلأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
  2. Bلأن بتات مرشح Bloom لا يمكن تغييرها بعد إنشائه
  3. Cلأن الحذف سيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة إلى 100%
  4. Dلأن مرشحات Bloom تخزّن العناصر كاملة، ولا يمكن إيجادها ثانية بعد تجزئتها
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 43 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1241215151351411ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)

لماذا هذه هي الإجابة

Floyd–Warshall خوارزمية برمجة ديناميكية تسمح لكل رأس بدوره أن يكون نقطة وسيطة، مستخدمةً زمن O(V³).

الإجابة

C · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة

لماذا هذه هي الإجابة

بيّن كوك وليفين كلٌّ على حدة أن كل مسألة في NP تُختزل إلى SAT في زمن كثير حدود، فكانت SAT أول مسألة NP-تامة معروفة.

الإجابة

B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 1

لماذا هذه هي الإجابة

في العنونة المفتوحة تُخزَّن كل المفاتيح في الجدول نفسه، فلا يمكن أن تتجاوز n قيمة m، أما التسلسل المنفصل فقد يكون معامل تحميله أكبر من 1.

الإجابة

A · 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

مسح بت مشترك سيجعل عنصرًا آخر يبدو غائبًا، ومرشحات Bloom العدّادة تحفظ عدّادات بدل البتات لتسمح بالحذف.

الإجابة

A · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 6

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 14 = 2(L + 5) − 2
L = 6

الإجابة

L = 6

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 39

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 12
B (12): C: 16, D: 24, G: 17
C (16)
G (17)
D (24): E: 39, F: 39
E (39)
F (39)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 39

الإجابة

d(F) = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms