هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لضرب مصفوفتين n × n بالحلقة الثلاثية القياسية؟

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

هل 22n تنتمي إلى O(2ⁿ)؟

  1. Aلا، لأن 22n تنمو أبطأ من 2ⁿ
  2. Bلا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
  3. Cنعم، لأن المعاملات الثابتة في الأس تُهمَل دائمًا في O الكبير
  4. Dنعم، لأن كلتيهما أسيتان
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A14
  2. B24
  3. C11
  4. D10
4.هياكل البياناتصعبة

ما كلفة الزمن والمساحة الإضافية لعكس قائمة مترابطة أحادية في مكانها؟

  1. Aزمن O(n) ومساحة إضافية O(n)
  2. Bزمن O(1) ومساحة إضافية O(1)
  3. Cزمن O(n log n) ومساحة إضافية O(1)
  4. Dزمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
61512914210145ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك n² مدخلًا ويحتاج كل منها إلى n عملية ضرب، فيكون العدد n³ عملية.

الإجابة

C · O(n³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد

لماذا هذه هي الإجابة

الثابت المضاف إلى الأس يعطي معاملًا ثابتًا، أما الثابت الذي يضرب الأس فيغيّر الأساس ومعدل النمو.

الإجابة

B · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

A · 14
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

الاحتفاظ بثلاثة مؤشرات (السابق، والحالي، والتالي) يتيح عكس كل رابط في مرور واحد دون حجز عقد جديدة.

الإجابة

D · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 27

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 6
B (6): D: 21, G: 8
G (8): C: 18, E: 13
E (13): F: 27
C (18)
D (21)
F (27)

أقصر مسار

A → B → G → E → F
d(F) = 27

الإجابة

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms