هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية Bellman–Ford على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُقارَن n! و2ⁿ عندما تكون n كبيرة؟

  1. Aتنموان بالمعدل نفسه
  2. Bn! تنمو أسرع من 2ⁿ
  3. C2ⁿ تنمو أسرع من n!
  4. Dn! هي O(n²)
3.هياكل البياناتمتوسطة

ماذا يحدث حين يُعيد جدول تجزئة التجزئة (rehash) بعد تجاوز معامل تحميله حدًا معينًا؟

  1. Aتُحذف أقدم المفاتيح لإفساح المجال
  2. Bتُرتَّب المفاتيح الموجودة في مكانها
  3. Cلا تُنقل إلا المفاتيح المتصادمة إلى قائمة فائض جديدة في نهاية الجدول
  4. Dيُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البياناتصعبة

كم يستغرق البحث عن مفتاح اعتباطي في كومة ثنائية صغرى فيها n عنصر؟

  1. AO(log n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K6؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K6
H =
6.نظرية البياناتصعبة
15513920101219ABCDEF

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة BC
  3. 3الحافة BD
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(V × E)

لماذا هذه هي الإجابة

في كل جولة من الجولات V − 1 تُرخى كل الحواف E، فيكون التعقيد O(VE)، وفي المقابل تتعامل مع أوزان الحواف السالبة.

الإجابة

B · O(V × E)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · n! تنمو أسرع من 2ⁿ

لماذا هذه هي الإجابة

عندما n ≥ 4 تتجاوز n! قيمة 2ⁿ، وتنمو النسبة بلا حد لأن كل عامل إضافي في n! أكبر من 2.

الإجابة

B · n! تنمو أسرع من 2ⁿ
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الفهرس يُحسب بباقي القسمة على حجم الجدول، يجب إعادة تجزئة كل المفاتيح في الجدول الجديد الأكبر، ومع المضاعفة تبقى الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

D · يُحجز جدول أكبر ويُدرج كل مفتاح من جديد
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تعطي الكومة قاعدة لأي شجرة فرعية تحتوي المفتاح، ففي أسوأ الحالات يجب فحص كل العقد، والأصغر وحده سريع الإيجاد.

الإجابة

D · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 60

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة EF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BC (5)
2. CE (9)
3. DF (10)
4. EF (12)
5. AB (15)

رقم الحافة 4

EF

الإجابة

الحافة EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms