هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مساحة مكدّس تستخدم دالة مضروب عودية بسيطة fact(n) = n × fact(n − 1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية غير الموجهة
  2. Bالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
  3. Cالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  4. Dالرسوم البيانية التامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟

  1. Aاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
  2. Bانظر إلى الجذر فقط
  3. Cاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
  4. Dزُر كل ورقة وقارن بينها
4.هياكل البياناتصعبة

كم يستغرق البحث عن مفتاح اعتباطي في كومة ثنائية صغرى فيها n عنصر؟

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
14151111261318203ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ عمق العودية n استدعاءً قبل أي عودة، ويحتاج كل استدعاء إلى إطار في المكدّس، فتستخدم O(n) مساحة.

الإجابة

B · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

C · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر

لماذا هذه هي الإجابة

العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.

الإجابة

A · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تعطي الكومة قاعدة لأي شجرة فرعية تحتوي المفتاح، ففي أسوأ الحالات يجب فحص كل العقد، والأصغر وحده سريع الإيجاد.

الإجابة

A · O(n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 47

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BD (1): خذ
GE (3): خذ
DF (6): خذ
BC (11): خذ
DE (12): خذ
EF (13): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (14): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 3 + 6 + 11 + 12 + 14 = 47

الإجابة

W = 47

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms