هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

التعقيد الزمني لحساب فيبوناتشي العودي الساذج (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) هو:

  1. Aثابت
  2. Bأسّي
  3. Cلوغاريتمي
  4. Dخطي
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

الفرز الطوبولوجي ممكن فقط في:

  1. Aالرسوم البيانية غير الموجهة
  2. Bالرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
  3. Cالرسوم البيانية التامة
  4. Dالرسوم البيانية ذات الأوزان السالبة
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يمكن تخزين كومة ثنائية في مصفوفة دون أي مؤشرات؟

  1. Aلأن المصفوفات تُبقي المفاتيح مرتبة تلقائيًا فلا حاجة إلى مؤشرات
  2. Bلأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
  3. Cلأن كل المفاتيح في الكومة متساوية
  4. Dلأن الأكوام لا تحتوي أبدًا أكثر من 100 عنصر
4.هياكل البياناتصعبة

ما الميزة الرئيسية لقائمة التخطي (skip list) مقارنةً بقائمة مترابطة مرتبة؟

  1. Aبحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
  2. Bلا تستخدم ذاكرة إضافية
  3. Cبحث مضمون في O(1) لأن كل عقدة تخزّن مؤشرًا إلى كل عقدة أخرى
  4. Dتخزّن المفاتيح دون ترتيب
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
512142776108ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أسّي

لماذا هذه هي الإجابة

تنمو شجرة الاستدعاءات تقريبًا مثل φⁿ (نحو 1,618ⁿ). ويخفّض التذكير (memoisation) التعقيد إلى O(n).

الإجابة

B · أسّي
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية

لماذا هذه هي الإجابة

يوجد ترتيب طوبولوجي إذا وفقط إذا لم يحتوِ الرسم البياني الموجه على دورات؛ ويمكن إيجاده في O(V + E) باستخدام DFS أو خوارزمية كان (Kahn).

الإجابة

B · الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة

لماذا هذه هي الإجابة

التمام يعني عدم وجود فجوات، فيكون ابنا الفهرس i دائمًا في 2i + 1 و2i + 2.

الإجابة

B · لأنها شجرة ثنائية تامة، فتتبع المواضع صيغ فهارس بسيطة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية

لماذا هذه هي الإجابة

تتيح المستويات العشوائية للبحث تخطي عقد كثيرة، مما يعطي زمنًا متوقعًا قدره O(log n) للبحث والإدراج والحذف.

الإجابة

A · بحث متوقع في O(log n) باستخدام عدة مستويات من المؤشرات الأمامية
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 5
C (5): B: 17, E: 7, G: 11
E (7): F: 14
G (11): D: 21
F (14)
B (17)
D (21)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 14

الإجابة

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms