هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

حل العلاقة التكرارية T(n) = 2T(n/2) + O(n) هو:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا لا يعطي البحث الثنائي زمن O(log n) على قائمة مترابطة أحادية؟

  1. Aلأن القوائم المترابطة لا يمكن فرزها
  2. Bلأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
  3. Cلأن البحث الثنائي يحتاج إلى ضعف الذاكرة على الأقل
  4. Dلأن المقارنات على عقد القائمة المترابطة أبطأ
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aشجرة بحث ثنائية
  2. Bدالة تجزئة
  3. Cطابور ثابت الحجم
  4. Dاجتياز مخطط
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا لا يمكن ببساطة حذف العناصر من مرشح Bloom قياسي بمسح بتاتها؟

  1. Aلأن مرشحات Bloom تخزّن العناصر كاملة، ولا يمكن إيجادها ثانية بعد تجزئتها
  2. Bلأن الحذف سيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة إلى 100%
  3. Cلأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
  4. Dلأن بتات مرشح Bloom لا يمكن تغييرها بعد إنشائه
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 14 رؤوس و22 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 14|E| = 22
k =
6.نظرية البياناتصعبة
61291192213ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق المبرهنة الرئيسية (master theorem) مع a = 2, b = 2, f(n) = n فإن T(n) = Θ(n log n).

الإجابة

A · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس

لماذا هذه هي الإجابة

يحتاج البحث الثنائي إلى وصول O(1) إلى العنصر الأوسط، وفي القائمة المترابطة يكلف السير إليه زمنًا خطيًا، فيكون المجموع O(n).

الإجابة

B · لأن الوصول إلى العنصر الأوسط يستغرق O(n) خطوة، إذ لا وصول مباشر بالفهرس
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

C · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة

لماذا هذه هي الإجابة

مسح بت مشترك سيجعل عنصرًا آخر يبدو غائبًا، ومرشحات Bloom العدّادة تحفظ عدّادات بدل البتات لتسمح بالحذف.

الإجابة

C · لأن تلك البتات قد تخص عناصر أخرى أيضًا، فيسبب ذلك سلبيات كاذبة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 9

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

14 − 1 = 13

الحواف المراد حذفها

k = 22 − 13 = 9

الإجابة

k = 9
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 19

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 6, C: 12
B (6): D: 17
C (12): E: 21
D (17): E: 19, F: 19
E (19)
F (19)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 19

الإجابة

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms