هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

  1. Aالشجرة الممتدة الصغرى
  2. Bأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
  3. Cترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
  4. Dأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

باستخدام المبرهنة الرئيسية (master theorem)، حل T(n) = 8T(n/2) + O(n²) هو:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لديك مرجع إلى عقدة في منتصف قائمة. في أي قائمة يمكنك إزالتها في O(1)؟

  1. Aالقائمة المترابطة الأحادية
  2. Bالقائمة المترابطة الثنائية
  3. Cالمصفوفة المرتبة
  4. Dالمصفوفة الديناميكية
4.هياكل البياناتصعبة

تريد لكل عنصر في مصفوفة العنصر الأكبر التالي على يمينه، في زمن كلي O(n). أي بنية تساعد؟

  1. Aشجرة بحث ثنائية يُعاد بناؤها لكل عنصر
  2. Bجدول تجزئة لكل العناصر
  3. Cطابور يحفظ كل زوج من العناصر
  4. Dمكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 17 رؤوس و19 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 17|E| = 19
k =
6.نظرية البياناتصعبة
613171619415111020ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 10
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية

لماذا هذه هي الإجابة

يزور BFS العقد بترتيب بعدها (بعدد الأضلاع) عن المصدر، لذا يجد أقصر المسارات غير الموزونة في O(V + E).

الإجابة

B · أقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(n³)

لماذا هذه هي الإجابة

log₂ 8 = 3، و n² تنمو أبطأ من n³، لذا تهيمن الأوراق: Θ(n³).

الإجابة

A · Θ(n³)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · القائمة المترابطة الثنائية

لماذا هذه هي الإجابة

تعرف العقدة في القائمة الثنائية سابقتها، فيمكنك إعادة ربط prev وnext مباشرة، أما القائمة الأحادية فيجب البحث فيها عن السابقة.

الإجابة

B · القائمة المترابطة الثنائية
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها

لماذا هذه هي الإجابة

بالمسح من اليسار إلى اليمين، اسحب كل عنصر في المكدس أصغر من الحالي (فالحالي إجابته)، ثم ادفع الحالي، وكل عنصر يتحرك مرتين على الأكثر.

الإجابة

D · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 3

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

17 − 1 = 16

الحواف المراد حذفها

k = 19 − 16 = 3

الإجابة

k = 3
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 60

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

DE (4): خذ
AB (6): خذ
GD (10): خذ
EF (11): خذ
AC (13): خذ
DF (15): تخطَّ، تُغلق دورة
BD (16): خذ

الوزن الكلي

W = 4 + 6 + 10 + 11 + 13 + 16 = 60

الإجابة

W = 60

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms