هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

الخوارزمية الجشعة (Greedy):

  1. Aتستخدم العودية فقط
  2. Bتجرّب كل حل ممكن
  3. Cتعطي الحل الأمثل دائمًا
  4. Dتتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

هل 22n تنتمي إلى O(2ⁿ)؟

  1. Aنعم، لأن المعاملات الثابتة في الأس تُهمَل دائمًا في O الكبير
  2. Bلا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
  3. Cنعم، لأن كلتيهما أسيتان
  4. Dلا، لأن 22n تنمو أبطأ من 2ⁿ
3.هياكل البياناتمتوسطة

في طابور دائري مخزّن في مصفوفة سعتها n، كيف يُحسب الموضع التالي بعد الفهرس i؟

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.هياكل البياناتصعبة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، لماذا يُنفَّذ الحذف غالبًا باستخدام علامة "شاهد القبر" (tombstone)؟

  1. Aتجعل الجدول مرتبًا
  2. Bيجب الاحتفاظ بالمفاتيح المحذوفة إلى الأبد لأسباب أمنية، فلا يعاد استخدام الخانات أبدًا
  3. Cشواهد القبور تسرّع التجزئة
  4. Dإفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 6 رؤوس و12 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 6|E| = 12
k =
6.نظرية البياناتصعبة
4135182137ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة

لماذا هذه هي الإجابة

الخوارزميات الجشعة سريعة ومثلى لبعض المسائل (مثل خوارزمية ديكسترا وترميز هوفمان)، لكنها ليست كذلك عمومًا (مثل مسألة صرف النقود مع بعض أنظمة القطع النقدية).

الإجابة

D · تتخذ الخيار الأفضل محليًا في كل خطوة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد

لماذا هذه هي الإجابة

الثابت المضاف إلى الأس يعطي معاملًا ثابتًا، أما الثابت الذي يضرب الأس فيغيّر الأساس ومعدل النمو.

الإجابة

B · لا، لأن 22n = 4ⁿ و4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ تنمو بلا حد
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · (i + 1) mod n

لماذا هذه هي الإجابة

تُعيد عملية الباقي (modulo) الفهرس n − 1 إلى 0، فيُعاد استخدام المصفوفة دون إزاحة العناصر.

الإجابة

C · (i + 1) mod n
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

لو أصبحت الخانة المحذوفة فارغة، فقد تتوقف عمليات البحث اللاحقة مبكرًا وتفوّت مفاتيح وُضعت أبعد في سلسلة السبر.

الإجابة

D · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 7

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

6 − 1 = 5

الحواف المراد حذفها

k = 12 − 5 = 7

الإجابة

k = 7
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 15

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 4
C (4): B: 17, E: 5
E (5): D: 13, F: 18, B: 12
B (12)
D (13): F: 15
F (15)

أقصر مسار

A → C → E → D → F
d(F) = 15

الإجابة

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms