هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

حل العلاقة التكرارية T(n) = 2T(n/2) + O(n) هو:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

  1. Aزمن O(n) ومساحة O(1)
  2. Bزمن O(n) ومساحة O(n)
  3. Cزمن O(log n) ومساحة O(n)
  4. Dزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة ثنائية مخزّنة في مصفوفة تبدأ من الفهرس 0، أين أبو العقدة ذات الفهرس i؟

  1. Aفي الفهرس ⌊i / 2⌋ + 1
  2. Bفي الفهرس i − 1
  3. Cفي الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. Dفي الفهرس 2i + 1
4.هياكل البياناتصعبة

لكي يعمل جدول التجزئة بشكل صحيح، أي قاعدة يجب أن تتبعها التجزئة والمساواة؟

  1. Aتساوي قيم التجزئة يستلزم تساوي المفاتيح
  2. Bيجب أن تكون قيم التجزئة أعدادًا أولية
  3. Cيجب أن تكون للمفاتيح المختلفة قيم تجزئة مختلفة
  4. Dيجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
71211081389ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق المبرهنة الرئيسية (master theorem) مع a = 2, b = 2, f(n) = n فإن T(n) = Θ(n log n).

الإجابة

D · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · زمن O(n) ومساحة O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

لا تحتاج كل خطوة إلا إلى القيمتين السابقتين، فيمكن استبدال جدول الطريقة التصاعدية بمتغيرين.

الإجابة

A · زمن O(n) ومساحة O(1)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋

لماذا هذه هي الإجابة

ابنا i في 2i + 1 و2i + 2، فيكون أبو i في ⌊(i − 1) / 2⌋، ومع الفهرسة من 1 يكون ⌊i / 2⌋.

الإجابة

C · في الفهرس ⌊(i − 1) / 2⌋
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية

لماذا هذه هي الإجابة

لو جُزّئ مفتاحان متساويان بقيمتين مختلفتين لخُزّنا في دلوين مختلفين ولفشل البحث، أما المفاتيح غير المتساوية فقد تشترك في التجزئة.

الإجابة

D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

C, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 24

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 12
B (7): C: 8, D: 17, E: 16
C (8)
E (16): F: 24
D (17)
F (24)

أقصر مسار

A → B → E → F
d(F) = 24

الإجابة

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms