هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مقارنة تقريبًا يحتاجها البحث الثنائي في أسوأ الحالات على مصفوفة مرتبة من 1,000,000 عنصر؟

  1. Aنحو 500,000
  2. Bنحو 1,000
  3. Cنحو 100
  4. Dنحو 20
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة صحيحة عن اختيار العنصر الأصغر رقم k في مصفوفة غير مرتبة؟

  1. Aيحتاج الاختيار دائمًا إلى Ω(n log n) لأنه يتطلب الفرز
  2. Bالاختيار ممكن فقط في O(n²)
  3. Cيعمل Quickselect في O(log n) في أسوأ الحالات لأنه يعود على جانب واحد فقط من المحور
  4. Dيعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

  1. A10
  2. B14
  3. C24
  4. D11
4.هياكل البياناتصعبة

يجب أن تحتفظ بأصغر k قيمة من تدفق من n عددًا باستخدام ذاكرة O(k). أي طريقة تعمل في زمن O(n log k)؟

  1. Aطابور FIFO لآخر k قيمة
  2. Bمصفوفة مرتبة لكل القيم n
  3. Cكومة صغرى تحمل القيم n كلها، تُستخرج منها أصغر k قيمة في النهاية
  4. Dكومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 16 رؤوس و23 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 16|E| = 23
k =
6.نظرية البياناتصعبة
312581191810ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · نحو 20

لماذا هذه هي الإجابة

220 ≈ 1,048,576، فبعد نحو 20 تنصيفًا لا يبقى إلا عنصر واحد.

الإجابة

D · نحو 20
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

العمل المتوقع لـ Quickselect هو n + n/2 + n/4 + ... = O(n) مع محاور عشوائية، واختيار المحور وسيطًا للوسائط يجعل أسوأ الحالات خطيًا.

الإجابة

D · يعمل Quickselect في زمن متوقع O(n)، وتضمن طريقة وسيط الوسائط O(n) في أسوأ الحالات
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · 14

لماذا هذه هي الإجابة

ادفع 3 و4، فيعطي + القيمة 7، ثم ادفع 2، فيعطي * القيمة 7 × 2 = 14.

الإجابة

B · 14
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر

لماذا هذه هي الإجابة

جذر الكومة العظمى هو أكبر قيمة محفوظة، وأي قيمة جديدة أصغر تحل محله في O(log k)، فتحفظ الكومة دائمًا أصغر k قيمة حتى الآن.

الإجابة

D · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

16 − 1 = 15

الحواف المراد حذفها

k = 23 − 15 = 8

الإجابة

k = 8
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 35

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

CE (1): خذ
AB (3): خذ
BC (5): خذ
BD (8): خذ
BE (10): تخطَّ، تُغلق دورة
AC (12): تخطَّ، تُغلق دورة
EF (18): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 3 + 5 + 8 + 18 = 35

الإجابة

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms