هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا تحسب خوارزمية Floyd–Warshall، وبأي سرعة؟

  1. Aأقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
  2. Bترتيبًا طوبولوجيًا في O(V²)
  3. Cشجرة امتداد صغرى في O(E log V)
  4. Dأقصر المسارات من رأس مصدر واحد إلى سائر الرؤوس في O(V + E)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
  2. Bلا هذا ولا ذاك
  3. Cالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
  4. Dالنوعان كلاهما
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالسبر التربيعي
  2. Bالسبر الخطي
  3. Cالتجزئة المزدوجة
  4. Dالتسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البياناتصعبة

في جدول تجزئة يستخدم العنونة المفتوحة، لماذا يُنفَّذ الحذف غالبًا باستخدام علامة "شاهد القبر" (tombstone)؟

  1. Aإفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
  2. Bتجعل الجدول مرتبًا
  3. Cيجب الاحتفاظ بالمفاتيح المحذوفة إلى الأبد لأسباب أمنية، فلا يعاد استخدام الخانات أبدًا
  4. Dشواهد القبور تسرّع التجزئة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
171918281171610ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 9
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)

لماذا هذه هي الإجابة

Floyd–Warshall خوارزمية برمجة ديناميكية تسمح لكل رأس بدوره أن يكون نقطة وسيطة، مستخدمةً زمن O(V³).

الإجابة

A · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

C · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

D · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

لو أصبحت الخانة المحذوفة فارغة، فقد تتوقف عمليات البحث اللاحقة مبكرًا وتفوّت مفاتيح وُضعت أبعد في سلسلة السبر.

الإجابة

A · إفراغ الخانة قد يقطع تسلسل السبر لمفاتيح أخرى
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 44

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BD (2): خذ
DF (7): خذ
CE (8): خذ
BE (10): خذ
DE (11): تخطَّ، تُغلق دورة
EF (16): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (17): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 7 + 8 + 10 + 17 = 44

الإجابة

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms