هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا يُحذف أساس اللوغاريتم عادةً في O الكبير، كما في O(log n)؟

  1. Aلأن الأساس لا يهم إلا عندما تكون n صغيرة
  2. Bلأن اللوغاريتمات تُقرَّب دائمًا إلى أعداد صحيحة
  3. Cلأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
  4. Dكل اللوغاريتمات في علوم الحاسوب أساسها 10، فهو مفهوم ضمنًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟

  1. Aالنوعان كلاهما
  2. Bحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
  3. Cلا هذا ولا ذاك
  4. Dالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البياناتمتوسطة

تضمن أشجار AVL والأشجار الحمراء-السوداء:

  1. Aتخزين المفاتيح بترتيب الإدراج
  2. Bبحثًا في زمن ثابت في جميع الحالات
  3. Cارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
  4. Dألا يكون لأي عقدة ابنان
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي فرز الحواف بحسب الوزن
  2. Bفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
55241012131311ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت

لماذا هذه هي الإجابة

تغيير الأساس يضرب اللوغاريتم في ثابت، وO الكبير يتجاهل المعاملات الثابتة.

الإجابة

C · لأن اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة لا تختلف إلا بمعامل ثابت
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر

لماذا هذه هي الإجابة

حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.

الإجابة

D · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن

لماذا هذه هي الإجابة

تحافظ الأشجار ذاتية التوازن على ارتفاع لوغاريتمي، لذا تكون عمليات البحث والإدراج والحذف O(log n) في أسوأ الحالات.

الإجابة

C · ارتفاعًا قدره O(log n) عبر إعادة التوازن
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

D · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: B

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): C: 5
2. C (5): B: 10, G: 18
3. B (10): D: 12
4. D (12): F: 16
5. F (16): E: 26
6. G (18)
7. E (26)

الجولة 3

B

الإجابة

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms