هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

  1. Aمصفوفة بترتيب عشوائي
  2. Bمصفوفة طولها 2
  3. Cمصفوفة مرتبة مسبقًا
  4. Dمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا قد تعطي خوارزمية Dijkstra نتائج خاطئة حين تكون بعض أوزان الحواف سالبة؟

  1. Aلأن الأعداد السالبة لا يمكن تخزينها في طابور أولويات
  2. Bلأنها تدخل في حلقة لا نهائية عند كل حافة سالبة
  3. Cلأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
  4. Dلأنها لا تعمل إلا على الرسوم البيانية غير الموجهة
3.هياكل البياناتمتوسطة

يزور الاجتياز الداخلي (in-order) لشجرة البحث الثنائية المفاتيح:

  1. Aبترتيب تنازلي دائمًا
  2. Bبترتيب تصاعدي (مرتبة)
  3. Cبترتيب الإدراج
  4. Dحسب المستويات
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا تُستخدم أشجار B في قواعد البيانات وأنظمة الملفات؟

  1. Aمعامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
  2. Bتستخدم ذاكرة أقل من أي مصفوفة، فيتسع الفهرس كله دائمًا في الذاكرة الرئيسية
  3. Cتخزّن البيانات غير مرتبة
  4. Dلا تحتاج إلى إعادة توازن
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 32 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من E إلى D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · مصفوفة مرتبة مسبقًا

لماذا هذه هي الإجابة

في المدخلات المرتبة يكون المحور دائمًا الأصغر، فيكون أحد الجانبين فارغًا والآخر فيه n − 1 عنصر، فيكون التعقيد O(n²).

الإجابة

C · مصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر

لماذا هذه هي الإجابة

تعتمد الخطوة الجشعة على أوزان غير سالبة لكي تكون المسافات المستخرجة نهائية، وتُستخدم Bellman–Ford حين قد تكون الأوزان سالبة.

الإجابة

C · لأن الرأس يُثبَّت نهائيًا عند استخراجه، لكن حافة سالبة لاحقة قد تعطيه مسارًا أقصر
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · بترتيب تصاعدي (مرتبة)

لماذا هذه هي الإجابة

زيارة الشجرة الفرعية اليسرى ثم العقدة ثم الشجرة الفرعية اليمنى تُخرج مفاتيح BST بترتيب مرتب.

الإجابة

B · بترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن أشجار B مفاتيح كثيرة في كل عقدة، فيكون الارتفاع صغيرًا ويلزم عدد قليل من قراءات الكتل لكل بحث؛ كما تربط أشجار B+ الأوراق لعمليات مسح النطاقات.

الإجابة

A · معامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 20

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 42 = 2(L + 12) − 2
L = 20

الإجابة

L = 20

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms