هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

  1. Aمصفوفة مرتبة مسبقًا
  2. Bمصفوفة طولها 2
  3. Cمصفوفة بترتيب عشوائي
  4. Dمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة المستهلَكة لزيادة عدّاد ثنائي بمقدار واحد، علمًا بأن زيادة واحدة قد تقلب بتات كثيرة؟

  1. AO(n log n) لكل زيادة
  2. BO(n) لكل زيادة
  3. CO(log n) لكل زيادة
  4. DO(1) لكل زيادة
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق البحث عن كلمة طولها L في trie بأبجدية ثابتة؟

  1. AO(L × n)
  2. BO(n)، حيث n عدد الكلمات
  3. CO(log n)، حيث n عدد الكلمات
  4. DO(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البياناتصعبة

في خوارزمية Kruskal لشجرة الامتداد الصغرى، فيمَ تُستخدم بنية union-find؟

  1. Aفي التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
  2. Bفي تخزين المسافة الحالية لكل رأس من المصدر أثناء البحث
  3. Cفي اختيار رأس البداية
  4. Dفي فرز الحواف بحسب الوزن
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
42011218171451592ABCDEFG

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة GB
  9. 9الحافة GC
  10. 10الحافة GD
  11. 11الحافة GE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · مصفوفة مرتبة مسبقًا

لماذا هذه هي الإجابة

في المدخلات المرتبة يكون المحور دائمًا الأصغر، فيكون أحد الجانبين فارغًا والآخر فيه n − 1 عنصر، فيكون التعقيد O(n²).

الإجابة

A · مصفوفة مرتبة مسبقًا
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(1) لكل زيادة

لماذا هذه هي الإجابة

على مدى n زيادة ينقلب البت i نحو n / 2ⁱ مرة، فيكون المجموع أقل من 2n قلبًا، أي متوسط O(1) لكل زيادة.

الإجابة

D · O(1) لكل زيادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة

لماذا هذه هي الإجابة

كل حرف يختار ابنًا واحدًا، فيستغرق البحث L خطوة أيًا كان عدد الكلمات في الـ trie.

الإجابة

D · O(L)، بصرف النظر عن عدد الكلمات المخزّنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل

لماذا هذه هي الإجابة

تخبر find ما إذا كان الطرفان في المكوّن نفسه، فإن لم يكونا أُضيفت الحافة ودمجت union المكونين.

الإجابة

A · في التحقق مما إذا كان طرفا الحافة متصلين بالفعل
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة GB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BC (1)
2. GE (2)
3. AB (4)
4. GB (5)
5. GD (9)
6. EF (14)

رقم الحافة 4

GB

الإجابة

الحافة GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms