هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي حد صحيح لـ log(n!)؟

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aدالة تجزئة
  2. Bطابور ثابت الحجم
  3. Cشجرة بحث ثنائية
  4. Dاجتياز مخطط
4.هياكل البياناتصعبة

إدراج مفتاح في شجرة AVL جعل الشجرة الفرعية اليسرى لعقدة أطول من اللازم، وذهب المفتاح الجديد إلى الشجرة الفرعية اليسرى لابنها الأيسر (حالة يسار-يسار). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
  2. Bدوران إلى اليسار عند الابن، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة غير المتوازنة
  4. Dإعادة تلوين العقدة وابنها
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 32 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند F؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

B · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · Θ(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

log(n!) ≤ n log n، والعوامل الـ n / 2 الكبرى تعطي log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)، ولهذا يحتاج الفرز بالمقارنة إلى Ω(n log n).

الإجابة

D · Θ(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

B · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة يسار-يسار يرفع دوران واحد إلى اليمين الابن الأيسر ويعيد التوازن، أما الحالات المتعرجة فتحتاج إلى دوران مزدوج.

الإجابة

A · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 22

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

الإجابة

L = 22

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)FF = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms