هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
  2. Bلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
  3. Cلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  4. Dلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  2. Bغير قابلة للحسم
  3. Cنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
  4. Dنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. A2i + 1 و 2i + 2
  2. Bi + 1 و i + 2
  3. C2i و 2i + 1
  4. Di/2 و i/2 + 1
4.هياكل البياناتصعبة

ما الخاصية التي يجب أن تحققها الشجرة الحمراء-السوداء؟

  1. Aيجب أن يكون الجذر أحمر
  2. Bيجب أن تكون كل عقدة حمراء
  3. Cكل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
  4. Dيجب أن يكون لكل عقدة حمراء أبناء حمر، فتشكّل العقد الحمراء سلاسل متصلة حتى الأوراق
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 8 رؤوس و16 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 8|E| = 16
k =
6.نظرية البياناتصعبة
711513810171420ABCDEF

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 9
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

C · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

A · 2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء

لماذا هذه هي الإجابة

قواعد الشجرة الحمراء-السوداء: العقد حمراء أو سوداء، والجذر أسود، وأبناء العقد الحمراء سود، ولجميع المسارات الارتفاع الأسود نفسه، مما يبقي الارتفاع ≤ 2 log₂(n + 1).

الإجابة

C · كل مسار من عقدة إلى أوراقها المنحدرة منها يحتوي على العدد نفسه من العقد السوداء
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 9

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

8 − 1 = 7

الحواف المراد حذفها

k = 16 − 7 = 9

الإجابة

k = 9
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 44

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BC (5): خذ
AB (7): خذ
CE (8): خذ
DE (10): خذ
AC (11): تخطَّ، تُغلق دورة
BD (13): تخطَّ، تُغلق دورة
EF (14): خذ

الوزن الكلي

W = 5 + 7 + 8 + 10 + 14 = 44

الإجابة

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms