هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n/2) + O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  2. Bنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
  3. Cنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  4. Dلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البياناتمتوسطة

لشجرة ثنائية جذرها 1، وابنه الأيسر 2 والأيمن 3، وللعقدة 2 ابنان 4 (أيسر) و5 (أيمن). ما الاجتياز القبلي؟

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.هياكل البياناتصعبة

شجرة Fenwick (الشجرة المفهرسة ثنائيًا) على مصفوفة من n عددًا تدعم أي عمليات في O(log n)؟

  1. Aفرز المصفوفة والبحث الثنائي
  2. Bإيجاد الوسيط في O(1)
  3. Cاستعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
  4. Dإدراج العناصر في أي موضع
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
201934141210155697ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 12
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

وفق النظرية الرئيسية تهيمن nlog₂ 2 = n على العمل الثابت، فيكون T(n) = Θ(n)، كما في إيجاد القيمة العظمى بالتقسيم إلى نصفين.

الإجابة

C · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

D · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 1 2 4 5 3

لماذا هذه هي الإجابة

يزور الاجتياز القبلي 1، ثم شجرته الفرعية اليسرى (2، 4، 5)، ثم 3، والخيارات الأخرى هي الاجتياز الوسطي والبعدي ومستوى بعد مستوى.

الإجابة

D · 1 2 4 5 3
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة Fenwick مجاميع جزئية على مدى تحدده البتات الدنيا لكل فهرس، فيستغرق كل من مجموع البادئة والتحديث النقطي O(log n).

الإجابة

C · استعلامات مجموع البادئة وتحديثات العنصر الواحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 48

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BC (3): خذ
BD (4): خذ
GB (5): خذ
GC (6): تخطَّ، تُغلق دورة
GE (7): خذ
GD (9): تخطَّ، تُغلق دورة
DF (10): خذ
DE (12): تخطَّ، تُغلق دورة
CE (14): تخطَّ، تُغلق دورة
EF (15): تخطَّ، تُغلق دورة
AC (19): خذ

الوزن الكلي

W = 3 + 4 + 5 + 7 + 10 + 19 = 48

الإجابة

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms