هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا تنتقل روتينات فرز كثيرة في المكتبات إلى الفرز بالإدراج للمصفوفات الفرعية الصغيرة جدًا؟

  1. Aلأن الفرز بالإدراج يستهلك ذاكرة أقل من أي خوارزمية فرز أخرى على المدخلات الكبيرة
  2. Bلأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
  3. Cلأن الفرز بالإدراج O(n log n) في أسوأ الحالات
  4. Dلأن الخوارزميات العودية لا تتعامل مع مصفوفات أقل من 10 عناصر
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي عبارة عن P و NP صحيحة؟

  1. Aلا يمكن التحقق من حلول مسائل NP بسرعة
  2. BNP تعني «ليست كثيرة الحدود» (not polynomial)
  3. Cكل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
  4. Dثبت أن P ≠ NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aشجرة بحث ثنائية
  2. Bدالة تجزئة
  3. Cطابور ثابت الحجم
  4. Dاجتياز مخطط
4.هياكل البياناتصعبة

بافتراض التجزئة المنتظمة البسيطة، ما الزمن المتوقع للبحث في جدول تجزئة بالتسلسل فيه n مفتاحًا وm دلوًا؟

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α)، حيث α = n / m
  4. DO(m)
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 34 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
5141210641210ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تكون n صغيرة تتفوق حلقة الفرز بالإدراج البسيطة على كلفة العودية في الفرز السريع أو الفرز بالدمج، رغم أنه O(n²).

الإجابة

B · لأن كلفته الإضافية ضئيلة وهو سريع على المدخلات الصغيرة أو شبه المرتبة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP

لماذا هذه هي الإجابة

P ⊆ NP: إذا كنت تستطيع حل مسألة بسرعة فإنك تستطيع التحقق من الحل بسرعة. أما مسألة ما إذا كان P = NP فما زالت مفتوحة.

الإجابة

C · كل مسألة في P تنتمي أيضًا إلى NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

C · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(1 + α)، حيث α = n / m

لماذا هذه هي الإجابة

حساب التجزئة كلفته O(1) والطول المتوقع للسلسلة α، فإبقاء α محدودًا بإعادة التحجيم يعطي زمنًا متوقعًا O(1).

الإجابة

C · O(1 + α)، حيث α = n / m
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 18

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

الإجابة

L = 18

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: D

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 5, C: 14
2. B (5): D: 15
3. C (14): E: 20
4. D (15): E: 19, F: 27
5. E (19)
6. F (27)

الجولة 4

D

الإجابة

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms