هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي عبارة صحيحة عن دالة عودية ليس لها حالة أساس قابلة للبلوغ؟

  1. Aتُرجع 0 تلقائيًا
  2. Bتعمل في زمن O(1)
  3. Cيحولها المترجم دائمًا إلى حلقة تنتهي بأمان
  4. Dتواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي من مسائل الإرضاء هذه معروف أنه قابل للحل في زمن كثير حدود؟

  1. A3-SAT، حيث يحتوي كل بند على ثلاثة حرفيّات بالضبط
  2. BSAT العامة على صيغ في الصيغة العادية العطفية
  3. C2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
  4. Dإرضاء الدارات
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي نوع بيانات مجرد تستخدمه خوارزمية Dijkstra لاختيار الرأس التالي للمعالجة؟

  1. Aمجموعة بلا ترتيب
  2. Bمكدس
  3. Cطابور FIFO
  4. Dطابور أولويات صغرى
4.هياكل البياناتصعبة

إدراج مفتاح في شجرة AVL جعل الشجرة الفرعية اليسرى لعقدة أطول من اللازم، وذهب المفتاح الجديد إلى الشجرة الفرعية اليسرى لابنها الأيسر (حالة يسار-يسار). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aإعادة تلوين العقدة وابنها
  2. Bدوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة غير المتوازنة
  4. Dدوران إلى اليسار عند الابن، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
4861112418ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات

لماذا هذه هي الإجابة

بدون حالة أساس لا تتوقف العودية أبدًا، وعمليًا تنفد ذاكرة إطارات المكدّس ويتعطل البرنامج.

الإجابة

D · تواصل استدعاء نفسها حتى يفيض مكدّس الاستدعاءات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

2-SAT تنتمي إلى P (زمن خطي عبر المكونات قوية الاتصال)، بينما 3-SAT هي NP-تامة.

الإجابة

C · 2-SAT، حيث يحتوي كل بند على حرفيّين (literals) على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · طابور أولويات صغرى

لماذا هذه هي الإجابة

يُرجع طابور الأولويات الصغرى، وهو عادةً كومة ثنائية، الرأس غير المزور ذا المسافة الأصغر بكفاءة.

الإجابة

D · طابور أولويات صغرى
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة يسار-يسار يرفع دوران واحد إلى اليمين الابن الأيسر ويعيد التوازن، أما الحالات المتعرجة فتحتاج إلى دوران مزدوج.

الإجابة

B · دوران واحد إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 2520

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

الإجابة

H = 2520
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 4, C: 8
2. B (4): D: 15, E: 12
3. C (8)
4. E (12): F: 13
5. F (13)
6. D (15)

الجولة 4

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms