هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة P صحيح؟

  1. Aالمسائل التي يمكن حلها على التوازي
  2. Bالمسائل التي يمكن التحقق من حلولها لكن لا يمكن إيجادها أبدًا في زمن كثير حدود
  3. Cالمسائل التي تحتاج إلى زمن أسّي على كل حاسوب
  4. Dمسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي شرط توازن تحافظ عليه شجرة AVL عند كل عقدة؟

  1. Aأن تحتوي الشجرتان الفرعيتان لكل عقدة العدد نفسه تمامًا من العقد
  2. Bأن تكون كل الأوراق على العمق نفسه بالضبط
  3. Cألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
  4. Dأن تُلوَّن كل عقدة بالأحمر أو الأسود
4.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

  1. Aفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة
  2. Bتنفيذ مكدس
  3. Cالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
  4. Dتخزين حواف مخطط
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K7؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K7
H =
6.نظرية البياناتصعبة
85161111862ABCDEF

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 2
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة CE
  5. 5الحافة DE
  6. 6الحافة DF
  7. 7الحافة EF
  8. 8الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

B · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

تحتوي P مسائل القرار التي لها خوارزمية حتمية في زمن كثير حدود، مثل التحقق من اتصال رسم بياني.

الإجابة

D · مسائل القرار القابلة للحل بخوارزمية حتمية في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1

لماذا هذه هي الإجابة

يجب أن يكون معامل التوازن (الارتفاع الأيسر − الارتفاع الأيمن) −1 أو 0 أو 1، وتعيده الدورانات بعد الإدراج والحذف.

الإجابة

C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة المقاطع قيمًا مجمّعة للفترات، وتدعم استعلامات النطاقات والتحديثات النقطية في زمن O(log n).

الإجابة

C · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 360

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

الإجابة

H = 360
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BE

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. DE (1)
2. BE (2)
3. AC (5)
4. EF (6)
5. AB (8)

رقم الحافة 2

BE

الإجابة

الحافة BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms