هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مسألة اختيار الأنشطة، أي قاعدة جشعة تعطي دائمًا أكبر عدد من الأنشطة غير المتداخلة؟

  1. Aاختر أقصر نشاط أولًا
  2. Bاختر النشاط الأقل تداخلًا أولًا، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
  3. Cاختر النشاط الذي يبدأ أبكر
  4. Dاختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أخذ طرفي كل حافة في تطابق أعظمي (maximal matching) يعطي غطاءً رأسيًا. ما جودة هذا الغطاء؟

  1. Aجودته مجهولة مقارنةً بالأمثل
  2. Blog n ضعف الأصغر على الأكثر
  3. Cغطاء رأسي أصغر دائمًا
  4. Dضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البياناتمتوسطة

لديك مرجع إلى عقدة في منتصف قائمة. في أي قائمة يمكنك إزالتها في O(1)؟

  1. Aالمصفوفة الديناميكية
  2. Bالمصفوفة المرتبة
  3. Cالقائمة المترابطة الثنائية
  4. Dالقائمة المترابطة الأحادية
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
  2. Bمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
  3. Cكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
  4. Dمكدس لكل الحواف المزورة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
3151191093515ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة

لماذا هذه هي الإجابة

يمكن إثبات أمثلية اختيار أبكر وقت انتهاء بحجة التبديل، أما القواعد الأخرى فلها أمثلة مضادة.

الإجابة

D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

حواف التطابق لا تشترك في رؤوس، فيحتاج الأمثل رأسًا واحدًا على الأقل لكل حافة، بينما تأخذ هذه الطريقة اثنين: تقريب بمعامل 2.

الإجابة

D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · القائمة المترابطة الثنائية

لماذا هذه هي الإجابة

تعرف العقدة في القائمة الثنائية سابقتها، فيمكنك إعادة ربط prev وnext مباشرة، أما القائمة الأحادية فيجب البحث فيها عن السابقة.

الإجابة

C · القائمة المترابطة الثنائية
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

A · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 1

الرؤوس الفردية

B, C, D, E, F, G → 6
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 12

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 3, C: 15
B (3): C: 14, D: 12, E: 18
D (12): F: 15
C (14)
F (15)
E (18)

أقصر مسار

A → B → D
d(D) = 12

الإجابة

d(D) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms