هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: for j = 1 to i: نفّذ عملًا O(1)؟

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أخذ طرفي كل حافة في تطابق أعظمي (maximal matching) يعطي غطاءً رأسيًا. ما جودة هذا الغطاء؟

  1. Alog n ضعف الأصغر على الأكثر
  2. Bغطاء رأسي أصغر دائمًا
  3. Cجودته مجهولة مقارنةً بالأمثل
  4. Dضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم عقدة لشجرة ثنائية كاملة (perfect) ارتفاعها h، مع عدّ الارتفاع بالحواف؟

  1. A2h
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

  1. Aتخزين حواف مخطط
  2. Bفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة
  3. Cتنفيذ مكدس
  4. Dالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 5, 2 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1321314312931348ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يُنفَّذ الجسم الداخلي n(n + 1) / 2 مرة إجمالًا، وهذا ما زال تربيعيًا.

الإجابة

B · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

حواف التطابق لا تشترك في رؤوس، فيحتاج الأمثل رأسًا واحدًا على الأقل لكل حافة، بينما تأخذ هذه الطريقة اثنين: تقريب بمعامل 2.

الإجابة

D · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 2h+1 − 1

لماذا هذه هي الإجابة

جمع 1 + 2 + 4 + ... + 2h يعطي 2h+1 − 1، فمثلًا الارتفاع 2 يعطي 7 عقد.

الإجابة

C · 2h+1 − 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة المقاطع قيمًا مجمّعة للفترات، وتدعم استعلامات النطاقات والتحديثات النقطية في زمن O(log n).

الإجابة

D · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

الإجابة

L = 11

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 14

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 13, C: 2
C (2): E: 5, G: 15
E (5): D: 17, F: 14, G: 13
B (13)
G (13)
F (14)
D (17)

أقصر مسار

A → C → E → F
d(F) = 14

الإجابة

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms