هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
  2. Bلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  3. Cلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
  4. Dلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة NP صحيح؟

  1. Aالمسائل التي لا تستطيع أي خوارزمية حلها
  2. Bالمسائل التي لا يمكن حلها في زمن كثير حدود
  3. Cالمسائل غير كثيرة الحدود
  4. Dمسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

  1. A40
  2. B20
  3. C70
  4. D50
4.هياكل البياناتصعبة

أي عبارة عن الفرز بالكومة (heapsort) صحيحة؟

  1. Aيحتاج إلى شجرة بحث ثنائية بوصفها تخزينًا إضافيًا، فيستخدم O(n) ذاكرة إضافية
  2. Bيفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
  3. Cيعمل في زمن O(n) على أي مدخل
  4. Dمستقر ويحتاج إلى ذاكرة إضافية O(n)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
475136661513412ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

B · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة

لماذا هذه هي الإجابة

في مسألة NP يمكن التحقق بسرعة من حل مقترح (شهادة)، مثل التحقق من أن تعيينًا معطى يحقق صيغة بوليانية.

الإجابة

D · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

B · 20
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر

لماذا هذه هي الإجابة

يبني الفرز بالكومة كومة عظمى ويستخرج الأكبر n مرة داخل المصفوفة نفسها، والتبديلات عبر مسافات طويلة قد تغير ترتيب المفاتيح المتساوية.

الإجابة

B · يفرز في المكان بزمن O(n log n) في أسوأ الحالات لكنه غير مستقر
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

الرؤوس الفردية

B, F → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: G

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 4, C: 7
2. B (4): D: 17, G: 17
3. C (7): E: 13, G: 11
4. G (11)
5. E (13): F: 28
6. D (17): F: 23
7. F (23)

الجولة 4

G

الإجابة

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms