هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تضرب خوارزمية ستراسن المصفوفات باستخدام 7 بدل 8 عمليات ضرب عودية لكتل نصف الحجم. ما زمن تنفيذها؟

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق التحقق من وجود الحافة (u, v) باستخدام مصفوفة التجاور؟

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.هياكل البياناتصعبة

في المخزن المؤقت الدائري (circular buffer)، قد يعني front == rear الفراغ أو الامتلاء. ما الطريقة الشائعة للتمييز بينهما؟

  1. Aمسح المخزن دائمًا حين يتساوى front وrear، فتكون الحالة فارغة
  2. Bتخزين front وrear في المتغير نفسه
  3. Cالاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
  4. Dجعل حجم المخزن قوة للعدد اثنين
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K8؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K8
H =
6.نظرية البياناتصعبة
2981641417ABCDE

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس E. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3.

البداية: Ek = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

B · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · Θ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81

لماذا هذه هي الإجابة

مع a = 7 وb = 2 تهيمن nlog₂ 7 على عمل الجمع O(n²)، فيكون الزمن نحو n2,81.

الإجابة

B · Θ(nlog₂ 7)، أي نحو n2,81
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يخبرك مدخل المصفوفة في الصف u والعمود v فورًا بوجود الحافة، أما قائمة التجاور فقد تحتاج إلى مسح جيران u.

الإجابة

C · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع العدّاد يعني الفراغ count = 0 ويعني الامتلاء count = capacity، ومع خانة فارغة واحدة يُعرَّف الامتلاء بأنه (rear + 1) mod n == front.

الإجابة

C · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 2520

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

الإجابة

H = 2520
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. CE (4)
2. BC (8)
3. AB (2)
4. DE (14)

رقم الحافة 3

AB

الإجابة

الحافة AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms