هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لـ: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تستغرق مسألة حقيبة الظهر 0/1 المحلولة بالبرمجة الديناميكية زمنًا O(nW). لماذا يُسمى هذا شبه كثير الحدود (pseudo-polynomial)؟

  1. Aلأنها تعمل فقط عندما W = 0
  2. Bلأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
  3. Cلأن n صغيرة دائمًا
  4. Dلأن الخوارزمية عشوائية ويتفاوت زمن تشغيلها مع كل مدخل
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي طريقة لحل التصادمات تخزّن المفاتيح المتصادمة في قائمة داخل الدلو نفسه؟

  1. Aالتجزئة المزدوجة
  2. Bالسبر التربيعي
  3. Cالتسلسل المنفصل (separate chaining)
  4. Dالسبر الخطي
4.هياكل البياناتصعبة

بافتراض التجزئة المنتظمة البسيطة، ما الزمن المتوقع للبحث في جدول تجزئة بالتسلسل فيه n مفتاحًا وm دلوًا؟

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α)، حيث α = n / m
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
2172013181611ABCDE

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس E. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3.

البداية: Ek = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تُنفَّذ الحلقة الداخلية نحو log₂ n مرة لكل من تكرارات الحلقة الخارجية الـ n، فيكون التعقيد O(n log n).

الإجابة

D · O(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W

لماذا هذه هي الإجابة

زمن التشغيل كثير حدود بالنسبة إلى قيمة W لكنه أسّي بالنسبة إلى طولها (log W بت)؛ ومسألة حقيبة الظهر 0/1 هي NP-كاملة.

الإجابة

B · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · التسلسل المنفصل (separate chaining)

لماذا هذه هي الإجابة

يحتفظ التسلسل بقائمة مترابطة (أو بنية أخرى) لكل دلو، بينما تبحث العنونة المفتوحة عن خانة فارغة أخرى داخل الجدول نفسه.

الإجابة

C · التسلسل المنفصل (separate chaining)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(1 + α)، حيث α = n / m

لماذا هذه هي الإجابة

حساب التجزئة كلفته O(1) والطول المتوقع للسلسلة α، فإبقاء α محدودًا بإعادة التحجيم يعطي زمنًا متوقعًا O(1).

الإجابة

D · O(1 + α)، حيث α = n / m
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. BE (11)
2. AB (2)
3. BD (13)
4. AC (17)

رقم الحافة 3

BD

الإجابة

الحافة BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms