هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ترتب مصفوفة من n عنصر مرة واحدة ثم تجيب عن k استعلام عضوية بالبحث الثنائي. ما الكلفة الكلية؟

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

  1. Aنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
  2. Bغير قابلة للحسم
  3. Cتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
  4. Dنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
3.هياكل البياناتمتوسطة

يُستخدم المخزن المؤقت الدائري (ring buffer) عادةً لتنفيذ:

  1. Aشجرة بحث ثنائية
  2. Bدالة تجزئة
  3. Cطابور ثابت الحجم
  4. Dاجتياز مخطط
4.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

  1. Aالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
  2. Bتخزين حواف مخطط
  3. Cفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة
  4. Dتنفيذ مكدس
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند D؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n log n + k log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يكلف الفرز O(n log n) وكل استعلام O(log n)، وهذا يتفوق على k مسحًا خطيًا (O(nk)) عندما تكون k كبيرة.

الإجابة

A · O(n log n + k log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة

لماذا هذه هي الإجابة

"هل توجد جولة طولها k على الأكثر؟" مسألة NP-تامة، وإيجاد أقصر جولة NP-صعب، لأنه بالصعوبة نفسها على الأقل.

الإجابة

A · نسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · طابور ثابت الحجم

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم المخزن الدائري فهرسَي head وtail يلتفّان إلى البداية، مما يوفّر enqueue وdequeue في O(1) ضمن ذاكرة ثابتة.

الإجابة

C · طابور ثابت الحجم
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة المقاطع قيمًا مجمّعة للفترات، وتدعم استعلامات النطاقات والتحديثات النقطية في زمن O(log n).

الإجابة

A · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

C, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms