هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

لماذا لا تعطي البرمجة الديناميكية تسريعًا حقيقيًا للفرز بالدمج؟

  1. Aلأن الفرز بالدمج ليس له بنية عودية
  2. Bلأن البرمجة الديناميكية لا تعمل إلا على مسائل الرسوم البيانية، لا على المصفوفات
  3. Cلأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
  4. Dلأن الفرز بالدمج O(n) أصلًا
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي حد صحيح لـ log(n!)؟

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم ذاكرة تستخدم قائمة التجاور لمخطط فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V × E)
4.هياكل البياناتصعبة

ما كلفة الزمن والمساحة الإضافية لعكس قائمة مترابطة أحادية في مكانها؟

  1. Aزمن O(n log n) ومساحة إضافية O(1)
  2. Bزمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
  3. Cزمن O(n) ومساحة إضافية O(n)
  4. Dزمن O(1) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 13 رؤوس و17 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 13|E| = 17
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه

لماذا هذه هي الإجابة

نصفا الفرز بالدمج منفصلان ويُحل كل منهما مرة واحدة، والبرمجة الديناميكية لا تفيد إلا حين تتكرر المسائل الفرعية، كما في فيبوناتشي.

الإجابة

C · لأن مسائله الفرعية لا تتداخل، فلا شيء يُعاد استخدامه
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · Θ(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

log(n!) ≤ n log n، والعوامل الـ n / 2 الكبرى تعطي log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)، ولهذا يحتاج الفرز بالمقارنة إلى Ω(n log n).

الإجابة

A · Θ(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(V + E)

لماذا هذه هي الإجابة

لكل رأس قائمة، وتظهر كل حافة مرة (موجّه) أو مرتين (غير موجّه)، فيكون المجموع O(V + E).

الإجابة

B · O(V + E)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

الاحتفاظ بثلاثة مؤشرات (السابق، والحالي، والتالي) يتيح عكس كل رابط في مرور واحد دون حجز عقد جديدة.

الإجابة

B · زمن O(n) ومساحة إضافية O(1)
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 5

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

13 − 1 = 12

الحواف المراد حذفها

k = 17 − 12 = 5

الإجابة

k = 5
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 4

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

الجيران المشتركون

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

الإجابة

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms