هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا تحسب خوارزمية Floyd–Warshall، وبأي سرعة؟

  1. Aأقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
  2. Bشجرة امتداد صغرى في O(E log V)
  3. Cأقصر المسارات من رأس مصدر واحد إلى سائر الرؤوس في O(V + E)
  4. Dترتيبًا طوبولوجيًا في O(V²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما زمن تنفيذ خوارزمية Dijkstra مع كومة ثنائية على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V³)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم من الذاكرة تستخدم مصفوفة التجاور لمخطط ذي V رأسًا؟

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.هياكل البياناتصعبة

تريد لكل عنصر في مصفوفة العنصر الأكبر التالي على يمينه، في زمن كلي O(n). أي بنية تساعد؟

  1. Aشجرة بحث ثنائية يُعاد بناؤها لكل عنصر
  2. Bمكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
  3. Cطابور يحفظ كل زوج من العناصر
  4. Dجدول تجزئة لكل العناصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K5
H =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من C إلى A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)

لماذا هذه هي الإجابة

Floyd–Warshall خوارزمية برمجة ديناميكية تسمح لكل رأس بدوره أن يكون نقطة وسيطة، مستخدمةً زمن O(V³).

الإجابة

A · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O((V + E) log V)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك V عملية استخراج أصغر وحتى E عملية تخفيض مفتاح، كلٌّ منها O(log V)، وتحسّن كومة فيبوناتشي ذلك إلى O(E + V log V).

الإجابة

D · O((V + E) log V)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن مصفوفة التجاور V × V مدخلًا، وهي فعّالة للمخططات الكثيفة؛ أما قوائم التجاور فتستخدم O(V + E) وهي أفضل للمخططات المتفرقة.

الإجابة

B · O(V²)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها

لماذا هذه هي الإجابة

بالمسح من اليسار إلى اليمين، اسحب كل عنصر في المكدس أصغر من الحالي (فالحالي إجابته)، ثم ادفع الحالي، وكل عنصر يتحرك مرتين على الأكثر.

الإجابة

B · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
5.نظرية البيانات

الإجابة: H = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

عُدّ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

الإجابة

H = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 1

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 0·0 = 1

الإجابة

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms