هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تُنفِّذ دالة حلقة من n تكرارًا، ثم بشكل منفصل حلقة أخرى من n تكرارًا. ما تعقيدها الزمني؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما زمن تنفيذ خوارزمية Dijkstra مع كومة ثنائية على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³)
  4. DO(V + E)
3.هياكل البياناتمتوسطة

يحتاج تطبيق إلى بحث سريع، وإلى سرد المفاتيح مرتبة والإجابة عن استعلامات المدى. أي بنية هي الأنسب؟

  1. Aمكدس
  2. Bجدول تجزئة
  3. Cقائمة مترابطة غير مرتبة
  4. Dشجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  2. Bدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
  3. Cدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
  4. Dدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 14 رؤوس و25 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 14|E| = 25
k =
6.نظرية البياناتصعبة
419161118131419ABCDEFG

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 7|E| = 9
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

n + n = 2n، وتُسقط المعاملات الثابتة، فتكون الدالة O(n).

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O((V + E) log V)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك V عملية استخراج أصغر وحتى E عملية تخفيض مفتاح، كلٌّ منها O(log V)، وتحسّن كومة فيبوناتشي ذلك إلى O(E + V log V).

الإجابة

A · O((V + E) log V)
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · شجرة بحث ثنائية متوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي شجرة البحث المتوازنة بحثًا في O(log n) وتُبقي المفاتيح مرتبة، فيسهل الاجتياز الوسطي واستعلامات المدى، أما جدول التجزئة فيبعثر المفاتيح.

الإجابة

D · شجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

A · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 12

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

14 − 1 = 13

الحواف المراد حذفها

k = 25 − 13 = 12

الإجابة

k = 12
6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 54

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BC (1): خذ
AB (4): خذ
BD (9): خذ
DF (11): خذ
GC (13): خذ
GD (14): تخطَّ، تُغلق دورة
CE (16): خذ

الوزن الكلي

W = 1 + 4 + 9 + 11 + 13 + 16 = 54

الإجابة

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms