هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية تجد أقصر المسارات من مصدر واحد في رسم بياني أوزان أضلاعه غير سالبة؟

  1. Aخوارزمية كروسكال (Kruskal)
  2. Bخوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
  3. Cخوارزمية بيلمان–فورد مطلوبة في جميع الحالات
  4. Dالبحث بالعمق أولًا (DFS)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تقنية تعطي زمن تشغيل متوقعًا O(n log n) للفرز السريع على أي مدخلات؟

  1. Aفرز المدخلات قبل تشغيل الفرز السريع
  2. Bاختيار العنصر الأول دائمًا
  3. Cاختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
  4. Dاستخدام العودية على الجانب الأيسر فقط
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الصحيح بشأن مصفوفة التجاور لمخطط غير موجّه؟

  1. Aأن كل صف فيه 1 واحد بالضبط
  2. Bأنها متناظرة حول القطر الرئيسي
  3. Cأنها مثلثية علوية دائمًا
  4. Dأن قطرها الرئيسي يحتوي دائمًا آحادًا
4.هياكل البياناتصعبة

تُستخدم شجرة المقاطع (segment tree) عادةً من أجل:

  1. Aتخزين حواف مخطط
  2. Bالإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
  3. Cتنفيذ مكدس
  4. Dفرز السلاسل النصية أبجديًا بتخزين كل بادئة في عقدة منفصلة من الشجرة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
101171352014ABCDE

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 3؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 3
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)

لماذا هذه هي الإجابة

تعمل خوارزمية ديكسترا مع الأوزان غير السالبة؛ وتتعامل خوارزمية بيلمان–فورد مع الأوزان السالبة؛ وتبني خوارزمية كروسكال أشجارًا ممتدة صغرى.

الإجابة

B · خوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم

لماذا هذه هي الإجابة

مع محور عشوائي يكون زمن التشغيل المتوقع O(n log n) لكل المدخلات؛ وما زالت الحالات السيئة موجودة لكنها مستبعدة جدًا.

الإجابة

C · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي

لماذا هذه هي الإجابة

في المخطط غير الموجّه تعني الحافة {u, v} تعيين M[u][v] وM[v][u] معًا، فتساوي المصفوفة منقولها.

الإجابة

B · أنها متناظرة حول القطر الرئيسي
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن شجرة المقاطع قيمًا مجمّعة للفترات، وتدعم استعلامات النطاقات والتحديثات النقطية في زمن O(log n).

الإجابة

B · الإجابة عن استعلامات النطاقات (مثل مجاميع النطاقات) والتحديثات في O(log n)
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 18

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

الإجابة

L = 18

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة AB

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. CE (5)
2. BC (7)
3. AB (10)
4. BD (13)

رقم الحافة 3

AB

الإجابة

الحافة AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms