هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي أمرين يجب إثباتهما لإثبات أن مسألة القرار X هي NP-تامة؟

  1. Aأن X تنتمي إلى P، وأن X تُختزل إلى SAT
  2. Bأن X ليس لها خوارزمية كثيرة حدود، وأن X قابلة للحسم
  3. Cأن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
  4. Dأن X تُختزل إلى مسألة في P، وأن X تنتمي إلى NP
3.هياكل البياناتمتوسطة

يحتاج تطبيق إلى بحث سريع، وإلى سرد المفاتيح مرتبة والإجابة عن استعلامات المدى. أي بنية هي الأنسب؟

  1. Aجدول تجزئة
  2. Bشجرة بحث ثنائية متوازنة
  3. Cقائمة مترابطة غير مرتبة
  4. Dمكدس
4.هياكل البياناتصعبة

لكي يعمل جدول التجزئة بشكل صحيح، أي قاعدة يجب أن تتبعها التجزئة والمساواة؟

  1. Aيجب أن تكون للمفاتيح المختلفة قيم تجزئة مختلفة
  2. Bيجب أن تكون قيم التجزئة أعدادًا أولية
  3. Cتساوي قيم التجزئة يستلزم تساوي المفاتيح
  4. Dيجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1581711327ABCDE

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس C. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 4.

البداية: Ck = 4
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود

لماذا هذه هي الإجابة

يبيّن الانتماء إلى NP أن X ليست أصعب من NP، ويبيّن الاختزال من مسألة NP-تامة معروفة أن X بصعوبة كل NP على الأقل.

الإجابة

C · أن X تنتمي إلى NP، وأن مسألة NP-تامة معروفة تُختزل إلى X في زمن كثير حدود
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · شجرة بحث ثنائية متوازنة

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي شجرة البحث المتوازنة بحثًا في O(log n) وتُبقي المفاتيح مرتبة، فيسهل الاجتياز الوسطي واستعلامات المدى، أما جدول التجزئة فيبعثر المفاتيح.

الإجابة

B · شجرة بحث ثنائية متوازنة
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية

لماذا هذه هي الإجابة

لو جُزّئ مفتاحان متساويان بقيمتين مختلفتين لخُزّنا في دلوين مختلفين ولفشل البحث، أما المفاتيح غير المتساوية فقد تشترك في التجزئة.

الإجابة

D · يجب أن تكون للمفاتيح المتساوية قيم تجزئة متساوية
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 11

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

الإجابة

L = 11

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة BD

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. AC (8)
2. CE (13)
3. DE (2)
4. BD (1)

رقم الحافة 4

BD

الإجابة

الحافة BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms